名校
1 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和
，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和
奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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名校
2 . 设正整数
，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为
集合：对中任意四个不同的元素
，均有
.
(1)判断集合
和
是否为
集合，说明理由；
(2)若集合
为集合，求中大于1的元素的可能个数；
(3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.(1)判断集合
和是否为集合，说明理由；(2)若集合
为集合，求中大于1的元素的可能个数；(3)若集合
为集合，求证：中元素不能全为正实数.
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2024-01-19更新
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194次组卷
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2卷引用：北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题
名校
3 . 设
为正整数，集合
. 任取集合A中的
个元素（可以重复）
，
，
，
，其中
.
(1)若
，
，直接写出
；
(2)对于
，
，
，证明：
；
(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意
个元素
，都有
，则称集合A具有性质
. 证明：若
，集合A具有性质
，则
，集合A都具有性质.
为正整数，集合. 任取集合A中的个元素（可以重复），，，，其中.(1)若
，，直接写出；(2)对于
，，，证明：；(3)对于某个正整数
，若集合A满足：对于A中任意个元素，都有，则称集合A具有性质. 证明：若，集合A具有性质，则，集合A都具有性质.
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名校
4 . 已知有个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，
，
且
，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.条件①：
；条件②：
.(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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247次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
名校
5 . 设
，已知由自然数组成的集合
，集合
，
，…，
是的互不相同的非空子集，定义
数表：
，其中
，设
，令
是
，
，…，
中的最大值．
(1)若
，
，且
，求，，
及；
(2)若
，集合，，…，中的元素个数均相同，若
，求的最小值；
(3)若
，
，集合，，…，
中的元素个数均为3，且
，求证：的最小值为3．
，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．(1)若
，，且，求，，及；(2)若
，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；(3)若
，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
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2023-07-10更新
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554次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
解题方法
6 . 设A是非空实数集，且
．若对于任意的
，都有
，则称集合A具有性质
；若对于任意的，都有
，则称集合A具有性质
．
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A；
(2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质；
(3)设全集
，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合
具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．
．若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质．(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质
的集合A；(2)若非空实数集A具有性质
，求证：集合A具有性质；(3)设全集
，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．
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2022-11-17更新
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573次组卷
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7卷引用：北京市东城区2021-2022学年高二下学期期末统一检测数学试题
北京市东城区2021-2022学年高二下学期期末统一检测数学试题上海市南洋模范中学2022-2023学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）专题01集合与逻辑（15个考点）（1）北京市顺义牛栏山第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（已下线）专题1.8 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）-举一反三系列（已下线）重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型与方法）（1）（已下线）专题03集合的运算1-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）
名校
7 . 给定正整数
，设集合
．对于集合
中的任意元素
和
，记
．设
，且集合
，对于中任意元素
，若
则称具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明；
(3)若集合具有性质，证明：
．
，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合
是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明；(3)若集合
具有性质，证明：．
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2023-03-27更新
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1947次组卷
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13卷引用：北京市西城区2023届高三一模数学试题
北京市西城区2023届高三一模数学试题专题12压轴题汇总（10、15、21题）专题01集合与常用逻辑北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试题（已下线）北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题变式题16-21北京卷专题02集合（解答题）（已下线）北京市第四中学2022~2023学年高一下学期期中数学试题北京市海淀区首都师范大学附属中学2024届高三上学期10月阶段检测数学试题（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题03集合的运算-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）北京市中关村中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（已下线）广东省深圳中学2023-2024学年高三寒假开学适用性考试数学试题（已下线）高三数学临考冲刺原创卷（二）
名校
8 . 给定的正整数
，若集合
满足
，则称为集合的元“好集”.
（1）写出一个实数集
的
元“好集”；
（2）证明：不存在自然数集
的元“好集”；
（3）是否在自然数集的
元“好集”? 若存在，请求出所有自然数集的元“好集”；若不存在，请说明理由.
，若集合满足，则称为集合的元“好集”.（1）写出一个实数集
的元“好集”；（2）证明：不存在自然数集
的元“好集”；（3）是否在自然数集
的元“好集”? 若存在，请求出所有自然数集的元“好集”；若不存在，请说明理由.
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