1 . 某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

   

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏检率时，求临界值和错检率；
(2)设函数，当时，求的解析式．

2 . 课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．

时长
学生人数	50	100	200	125	25

(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率．

3 . 我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Score)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scoring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

等   级	A	B	C	D	E
人数比例	15%	35%	35%	13%	2%
赋分区间	[86,100]	[71,85]	[56,70]	[41,55]	[30,40]

将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.

(1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.

4 . 滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：

组	0.66	0.68	0.69	0.71	0.72	0.74
组	0.46	0.48	0.49	0.49	0.51	0.51

改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和
(1)求；
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）．

5 . 交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

TPI				不低于4
拥堵等级	畅通	缓行	拥堵	严重拥堵

某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：

(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；
(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率.

6 . 某公司为了改进管理模式，决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的月销售目标，目标是否合适，将直接影响公司的效益和发展，如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心、目标过低，不利于挖掘销售员的工作潜力，该公司统计了100名职工某月的销售额，制成下面频率分布表

销售额范围 （单位：万元）
销售员人数	2	8	25	25	23	17

(1)请在所给的坐标系中画出这些数据的频率分布直方图；
(2)求该月销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），若标准差的估计值为1.3，请估计销售额在内概率值．
(3)若要使的职工能够完成销售目标，则销售目标应定为多少万元．

7 . 近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：

成绩
高一学生人数
高二学生人数

试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？
(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为，当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励元食堂代金券．
若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？

9 . 芯片作为集成电路的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素. 根据市场调研与统计，某公司自2018年起的五年时间里在芯片技术上的研发投入（单位：亿元）与收益（单位：亿元）的数据统计如下：

年份	2018	2019	2020	2021	2022
投入	1	2	3	4	5
收益	23.1	37.0	62.1	111.6	150.8

(1)根据表格中的数据，在给出的坐标系中画出散点图，并判断与是否线性相关；
(2)若与线性相关，求出关于的回归方程，并预测2023年底该公司的收益.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
参考数据：，，，，.