解题方法
1 . 欧拉公式
将自然对数的底数
，虚数单位
，三角函数
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数
满足
，
.
(1)求
，
；
(2)若复数
是纯虚数，求
的值.
将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.(1)求
，；(2)若复数
是纯虚数，求的值.
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名校
2 . 欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式
，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的
取作
就得到了欧拉恒等式
，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数
表示成
(
，i为虚数单位)的形式；
(2)求
的最大值.
，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：(1)将复数
表示成(，i为虚数单位)的形式；(2)求
的最大值.
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2023-04-12更新
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801次组卷
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7卷引用：上海市建平中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
上海市建平中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题陕西省延安中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题黑龙江省佳木斯市第八中学2022-2023学年高一下学期5月期中数学试题（已下线）7.2.1?复数的加、?减运算及其几何意义——课后作业（基础版）（已下线）5.2.1复数的加法与减法-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）（已下线）专题03 第七章 复数-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
3 . 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥
，
，
，再分别以
，
，
为轴将
，
，
分别向上翻转
，使
，
，
三点重合为点
所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于
减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
.
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用
表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积
；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用
表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点
的曲率的余弦值.
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2022-05-09更新
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3144次组卷
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18卷引用：上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题（已下线）专题24 立体几何解答题最全归纳总结-3山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题20 空间几何解答题（文科）-2（已下线）专题19 空间几何解答题（理科）-2辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校科学高中部2023-2024学年高三上学期高考适应性测试（一)数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练（已下线）模块四 专题7 新情境专练（拔高）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）（已下线）重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）-3（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）（已下线）重难点12 立体几何必考经典解答题全归类【九大题型】（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（已下线）专题7 考前押题大猜想31-35（已下线）压轴题04立体几何压轴题10题型汇总-2
4 . 材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数､棱数及面数都满足简单的规律：
；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数､棱数及面数都满足多面体欧拉公式.所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角（多面角是指有公共端点且两两不共线的
条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角）都是全等的多面角.例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体分别如图所示.我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交.
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
(1)阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数､棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
(2)请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程.）问题1：请问C60的分子结构模型中，有几个五边形？问题2：简单多面体中是否存在正十六面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数､棱数及面数都满足多面体欧拉公式.所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角（多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角）都是全等的多面角.例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体分别如图所示.我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交.材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
(1)阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数､棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
(2)请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程.）问题1：请问C60的分子结构模型中，有几个五边形？问题2：简单多面体中是否存在正十六面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
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