名校
1 . 设某幼苗从观察之日起,第天的高度为,测得的一些数据如下表所示:
作出这组数据的散点图发现:与(天)之间近似满足头系式,其中,均为大于0的常数.
(1)试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法对,作出估计,并求出关于的经验回归方程;
(2)在作出的这组数据的散点图中,甲同学随机圈取了其中的4个点,记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为,其中为表格中所给的幼苗高度的平均数,试求随机变量的分布列和数学期望.
附:对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
第天 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
高度 | 0 | 4 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
(1)试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法对,作出估计,并求出关于的经验回归方程;
(2)在作出的这组数据的散点图中,甲同学随机圈取了其中的4个点,记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为,其中为表格中所给的幼苗高度的平均数,试求随机变量的分布列和数学期望.
附:对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
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2024-08-20更新
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231次组卷
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2卷引用:福建省南平市浦城县2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
名校
2 . 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
经计算得,,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
(1)求的相关系数,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)请利用已经学过的方差公式:来证明方差第二公式.
(iii)在之外的数据称为离群值,试剔除离群值,并利用(ii)中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本的相关系数,.
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
(1)求的相关系数,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)请利用已经学过的方差公式:来证明方差第二公式.
(iii)在之外的数据称为离群值,试剔除离群值,并利用(ii)中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本的相关系数,.
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2024-08-04更新
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161次组卷
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2卷引用:福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
名校
解题方法
3 . 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018——2023年全球新能源汽车的销售量情况统计.
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示,回答如下问题:
(1)求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01);
(2)求y关于x的经验回归方程,并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附:经验回归方程其中
样本相关系数
参考数据:
年份 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
年份编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售量y/百万辆 | 2.02 | 2.21 | 3.13 | 6.70 | 10.80 | 14.14 |
(1)求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01);
(2)求y关于x的经验回归方程,并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附:经验回归方程其中
样本相关系数
参考数据:
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2024-08-04更新
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234次组卷
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7卷引用:福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷
名校
解题方法
4 . 习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,某城市选用某种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第天的高度为,测得一些数据图如下表所示:
(1)由表中数据可看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以证明;
(2)求关于的回归直线方程,并预测第7天这株幼苗的高度.
参考数据:.
参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
第天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
高度 | 1.3 | 1.7 | 2.2 | 2.8 | 3.5 |
(2)求关于的回归直线方程,并预测第7天这株幼苗的高度.
参考数据:.
参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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2024-07-19更新
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154次组卷
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2卷引用:福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下学期7月期末联合检测数学试题
5 . 在一次对外星文明的探索中,科学家发现了一种外星生物,它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量,发现繁殖数量与天数之间存在线性关系.
(1)根据记录的数据,得到以下表格:
请利用最小二乘法求出线性回归方程;
(2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析,以研究其基因多样性,发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究,记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为,求的分布列与数学期望.
(参考公式与数据:,,,,)
(1)根据记录的数据,得到以下表格:
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
繁殖数量 | 13 | 15 | 18 | 19 | 20 | 20 | 22 | 25 |
(2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析,以研究其基因多样性,发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究,记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为,求的分布列与数学期望.
(参考公式与数据:,,,,)
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解题方法
6 . 随着电商事业的快速发展,网络购物交易额也快速提升,某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额(取近似值)进行统计分析,结果如下表:
(1)据上表数据,计算y与t的相关系数r,并说明y与t的线性相关性的强弱;(已知:,则认为y与t线性相关性很强;,则认为y与t线性相关性一般;,则认为y与t线性相关性较弱.)
(2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程,并预测2024年该平台的交易额.
参考数据:,,
参考公式:相关系数
线性回归方程中,斜率和纵截距的最小二乘估计分别为,.
年份 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
年份代码(t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
交易额y(单位:百亿) | 1.5 | 2 | 3.5 | 8 | 15 |
(2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程,并预测2024年该平台的交易额.
参考数据:,,
参考公式:相关系数
线性回归方程中,斜率和纵截距的最小二乘估计分别为,.
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名校
解题方法
7 . 某小微企业对其产品研发的年投入金额(单位:万元)与其年销售量(单位:万件)的数据进行统计,整理后得到如下的数据统计表:
(1)公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型,根据上表数据,分别求出两种模型的经验回归方程;
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:,,.
1 | 5 | 7 | 8 | 9 | |
2 | 3 | 6 | 8 | 11 | |
0.7 | 1.1 | 1.8 | 2.1 | 2.4 |
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:,,.
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2024-06-22更新
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516次组卷
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4卷引用:福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题山东省滨州市阳信县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试题(已下线)专题6 回归分析与独立性检验复杂问题【讲】(高二期末压轴专项)山东省烟台市2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试卷
名校
8 . 某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量(单位:瓶)与天气温度(单位:)有很强的相关关系,为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料,该商场对天气温度和饮料的销售量进行了数据收集,得到下面的表格:
经分析,可以用作为关于的经验回归方程.
(1)根据表中数据,求关于的经验回归方程(结果保留两位小数);
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分,需添加饮料的记2分,每台饮料自动售卖机在一天中需添加饮料的概率均为,在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望.
参考公式及数据:对于一组数据,经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | |
4 | 16 | 64 | 256 | 2048 | 4096 | 8192 |
(1)根据表中数据,求关于的经验回归方程(结果保留两位小数);
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分,需添加饮料的记2分,每台饮料自动售卖机在一天中需添加饮料的概率均为,在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望.
参考公式及数据:对于一组数据,经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
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2024-06-15更新
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795次组卷
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6卷引用:福建省南平市建阳区2023-2024学年高三预测绝密卷模拟预测数学试题
福建省南平市建阳区2023-2024学年高三预测绝密卷模拟预测数学试题(已下线)专题6 回归分析与独立性检验复杂问题【练】(高二期末压轴专项)(已下线)【高二模块二】类型4 以成对数据统计分析为背景的解答题(B卷提升卷)(已下线)7.4 常见的几种分布列山东省济钢高级中学2023-2024学年高三5月适应性考试数学试题2024届河南省商丘市部分学校高三下学期模拟考试(三)数学试题
名校
9 . 某公司为了解年研发资金(单位:亿元)对年产值(单位:亿元)的影响,对公司近8年的年研发资金和年产值(,)的数据对比分析中,选用了两个回归模型,并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程:
①;②.
(1)求的值;
(2)已知①中的残差平方和,②中的残差平方和,请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程,并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值.
参考数据:,,,.
参考公式;刻画回归模型拟合效果的决定系数.
①;②.
(1)求的值;
(2)已知①中的残差平方和,②中的残差平方和,请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程,并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值.
参考数据:,,,.
参考公式;刻画回归模型拟合效果的决定系数.
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2024-06-11更新
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545次组卷
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4卷引用:福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷
福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题(已下线)专题6 回归分析与独立性检验复杂问题【讲】(高二期末压轴专项)(已下线)【高二模块二】类型4 以成对数据统计分析为背景的解答题(B卷提升卷)
名校
解题方法
10 . 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定,每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》,并向社会公开发布.下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比:
(1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数(精确到0.01);
(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述,并求出关于的经验回归方程;
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
(回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
附:样本相关系数,.
年份 | 2017年 | 2018年 | 2019年 | 2020年 | 2021年 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
6.4 | 5.5 | 5.0 | 4.8 | 3.8 |
(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述,并求出关于的经验回归方程;
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
(回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
附:样本相关系数,.
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2024-05-13更新
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2084次组卷
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3卷引用:福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题