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1 . “英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学,从这7名学员中选取3人,表示选取的人中来自中学的人数,求的分布列和数学期望;
(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.当时,求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学,从这7名学员中选取3人,表示选取的人中来自中学的人数,求的分布列和数学期望;
(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.当时,求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
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1291次组卷
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5卷引用:浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷安徽省江南十校2024届高三联考信息卷数学模拟预测卷(一)(已下线)7.4.2超几何分布(分层练习,4大题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)第3套-期初重组模拟卷(已下线)专题09 计数原理与随机变量及分布列(讲义)
2 . 2023年9月26日,第十四届中国(合肥)国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先,百姓园博”为主题,共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园,开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园.
(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩,记甲参观省内展园的数量为,求的分布列及数学期望;
(2)为更好地服务游客,主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客,其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表:
用频率估计概率.若游客乙首次游园,选择上述三种游园方式的一种,求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.
(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩,记甲参观省内展园的数量为,求的分布列及数学期望;
(2)为更好地服务游客,主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客,其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表:
游园方式 游园结果 | 观光车 | 自行车 | 步行 |
参观完所有展园 | 80 | 80 | 40 |
未参观完所有展园 | 20 | 120 | 160 |
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3 . 某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系,将其分成面积相近的若干个地块,从这些地块中随机抽取20个作为样区,调查得到样本数据,其中,和,分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量(单位:只),并计算得.
(1)求样本的相关系数(精确到0.01),并推断这种野生动物的数量y(单位:只)和植物覆盖面积x(单位:公顷)的相关程度;
(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数,从20个样区中随机抽取2个,记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X,求随机变量X的分布列.
附:相关系数
(1)求样本的相关系数(精确到0.01),并推断这种野生动物的数量y(单位:只)和植物覆盖面积x(单位:公顷)的相关程度;
(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数,从20个样区中随机抽取2个,记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X,求随机变量X的分布列.
附:相关系数
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4 . 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试,学校把本次测试数学成绩达到120分以上(包含120分)的同学的数学成绩等第定为优秀,物理成绩达到90分以上(包含90分)的同学的物理成绩等第定为优秀.现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩,如下表:
(1)试列出列联表,并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关?
(2)①数学组的章老师打算从这10个同学中,按照这次测试数学的等第是否优秀,利用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中抽取3个人,并仔细考查这3个人的答题情况.设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为,求的分布列及数学期望;
②如果本次测试理科考生的物理成绩,用样本估计总体,以10名同学物理成绩的平均数为,方差为,若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人,求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率.
参考数据:取.
若,则,.
.
数学(分) | 119 | 145 | 99 | 95 | 135 | 120 | 122 | 85 | 130 | 120 |
物理(分) | 84 | 90 | 82 | 84 | 83 | 81 | 83 | 81 | 90 | 82 |
(2)①数学组的章老师打算从这10个同学中,按照这次测试数学的等第是否优秀,利用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中抽取3个人,并仔细考查这3个人的答题情况.设最后抽出的3个人中数学等第优秀的人数为,求的分布列及数学期望;
②如果本次测试理科考生的物理成绩,用样本估计总体,以10名同学物理成绩的平均数为,方差为,若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人,求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率.
参考数据:取.
若,则,.
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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5 . 党的十八大以来,全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度,促进居民收入增长的各项措施持续发力,居民分享到更多经济社会发展红利,居民收入保持较快增长,收入结构不断优化,随着居民总收入较快增长,全体居民人均可支配收入也在不断提升.下表为某市2014~2022年全体居民人均可支配收入,将其绘制成散点图(如图1),发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
参考数据:.
参考公式:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
(1)设年份编号为(2014年的编号为1,2015年的编号为2,依此类推),记全体居民人均可支配收入为(单位:万元),求经验回归方程(结果精确到0.01);
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析,某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析,将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为,求随机变量的分布列与数学期望.
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
全体居民人均可支配收入(元) | 18352 | 20110 | 22034 | 24153 | 26386 | 28920 | 30824 | 33803 | 35666 |
参考数据:.
参考公式:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
(1)设年份编号为(2014年的编号为1,2015年的编号为2,依此类推),记全体居民人均可支配收入为(单位:万元),求经验回归方程(结果精确到0.01);
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析,某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析,将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为,求随机变量的分布列与数学期望.
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6 . 在治疗某种疾病中,某医院有两套治疗方案,方案一:以中医药为主,方案二:以西医药为主,为了检验这两种方案哪种方案更有效,随机选取150名患者进行分组对照治疗,其中应用方案一为80人,应用方案二为70人,经过一段时间治疗后,应用方案一组有65人明显好转或治愈,应用方案二组有45人明显好转或治愈.
(1)根据小概率值的独立性检验,能否判断方案的选择和治疗效果有关?
(2)利用分层随机抽样的方法从这两组中疗效不明显的患者中随机选取8人,再从这8人中随机选取4人,这4人中,选自方案二组的人数为,求的分布列与数学期望.
参考公式及参考数据:.
(1)根据小概率值的独立性检验,能否判断方案的选择和治疗效果有关?
(2)利用分层随机抽样的方法从这两组中疗效不明显的患者中随机选取8人,再从这8人中随机选取4人,这4人中,选自方案二组的人数为,求的分布列与数学期望.
参考公式及参考数据:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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7 . 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,目前已被广大消费者所接受.针对这种现状,某公司决定逐月加大直播带货的投入,直播带货金额稳步提升,以下是该公司2023年前5个月的带货金额的统计表(金额(万元)).
(1)根据统计表,
①求该公司带货金额的平均值;
②求该公司带货金额与月份编号的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否具有线性相关关系(,则认为与的线性相关性较强;,则认为与的线性相关性较弱);
(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控,质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检,再从中随机选取3件做进一步的质检,记抽到甲产品的件数为,试求的分布列与期望.
附:相关系数公式,参考数据:,,,.
月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
金额(万元) | 7 | 12 | 13 | 19 | 24 |
①求该公司带货金额的平均值;
②求该公司带货金额与月份编号的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否具有线性相关关系(,则认为与的线性相关性较强;,则认为与的线性相关性较弱);
(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控,质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检,再从中随机选取3件做进一步的质检,记抽到甲产品的件数为,试求的分布列与期望.
附:相关系数公式,参考数据:,,,.
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8 . 某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是、、、、、.
(1)求图中的值,并根据频率分布直方图,估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数;
(2)从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人,再从这人中随机抽取人,该人中成绩在区间的人数记为,求的分布列及数学期望.
(1)求图中的值,并根据频率分布直方图,估计这名学生的这次考试数学成绩的第百分位数;
(2)从这次数学成绩位于、的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人,再从这人中随机抽取人,该人中成绩在区间的人数记为,求的分布列及数学期望.
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9 . 临近新年,某水果店购入A,B,C三种水果,数量分别是36箱,27箱,18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱,进行质量检查.
(1)应从A,B,C三种水果各抽多少箱?
(2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数,求随机变量X的分布列和数学期望;
②设A为事件“抽取的4箱水果中,既有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事件A发生的概率.
(1)应从A,B,C三种水果各抽多少箱?
(2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数,求随机变量X的分布列和数学期望;
②设A为事件“抽取的4箱水果中,既有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事件A发生的概率.
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10 . 2023年10月26日,神舟十七号载人飞船把汤洪波、唐胜杰、江新林送入太空,他们是载人航天工程进入空间站应用和发展阶段的第二批航天员,他们的轮换和在轨工作也趋于常态化,主要包括人员和物资的正常轮换补给、空间站组合体平台照料、在轨实(试)验、开展科普及公益活动以及异常情况处置等工作.空间站的公益活动是与大众比较接近和感兴趣的空间站的工作任务.为了解学生对空间站的公益活动是否感兴趣,某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查,得到如下列联表中的部分数据:
已知从这300名学生中随机抽取1人,抽到对此项活动感兴趣的学生的概率为.
(1)将上述列联表补充完整,并依据的独立性检验,能否认为该校学生对空间站开展的公益活动感兴趣与性别有关联?
(2)该学校对参与问卷调查的学生按性别,利用按比例分配的分层随机抽样的方法,从对此项活动感兴趣的学生中抽取7人组成“我国载人航天事迹”宣传小组,从这7人中任选3人,随机变量表示3人中女生的人数,求的分布列及数学期望.
附:
参考公式:,其中.
对空间站开展的公益活动感兴趣 | 对空间站开展的公益活动不感兴趣 | 合计 | |
男生 | 120 | ||
女生 | 60 | ||
合计 |
(1)将上述列联表补充完整,并依据的独立性检验,能否认为该校学生对空间站开展的公益活动感兴趣与性别有关联?
(2)该学校对参与问卷调查的学生按性别,利用按比例分配的分层随机抽样的方法,从对此项活动感兴趣的学生中抽取7人组成“我国载人航天事迹”宣传小组,从这7人中任选3人,随机变量表示3人中女生的人数,求的分布列及数学期望.
附:
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
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