名校
1 . 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于
之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
的值;
(2)若从高度在
和
中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为
，求 的分布列及数学期望
；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在
的条件下，至多 1株高度低于
的概率.
之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
的值;(2)若从高度在
和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在
的条件下，至多 1株高度低于的概率.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 已知一个不透明的箱中装有3个白球，4个黑球，现从该箱中任取3个球（无放回，且每球取到的机会均等）.
(1)求取出的3个球的颜色相同的概率；
(2)记随机变量为取出3个球中白球的个数，求的分布列及数学期望．
(1)求取出的3个球的颜色相同的概率；
(2)记随机变量
为取出3个球中白球的个数，求的分布列及数学期望．
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3 . 2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
(2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为，试求的分布列和数学期望.
附：
，其中
.
单位：人
市民 | 春节旅游意愿 | |
愿意 | 不愿意 | |
青年人 | 80 | 20 |
老年人 | 40 | 60 |
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.(2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为
，试求的分布列和数学期望.附：
，其中.
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
解题方法
4 . 某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物
拥有两个亚种（分别记为
种和
种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第
次试验中种的数目为随机变量
.设该区域中种的数目为
，种的数目为
（，均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求
的分布列；
(2)记随机变量
.已知
，
（i）证明：
，
；
（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为
.数据的平均值
，方差
.采用
和
分别代替
和
，给出，的估计值.
（已知随机变量
服从超几何分布记为：
（其中为总数，
为某类元素的个数，
为抽取的个数），则
）
拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.(1)求
的分布列；(2)记随机变量
.已知，（i）证明：
，；（ii）该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.（已知随机变量
服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
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解题方法
5 . 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在
的概率为
，求出表格中
，的值；
(2)若从年龄在
的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
| 年龄段（单位：岁） |  |  | | |  |  |
| 被调查的人数 | 10 | 15 | 20 | | 25 | 5 |
| 赞成的人数 | 6 | 12 | | 20 | 12 | 2 |
的概率为，求出表格中，的值；(2)若从年龄在
的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
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2024·全国·模拟预测
6 . 某校数学组对高一年级“数学考试成绩和坚持整理错题”情况进行调查．本次考试满分150分，成绩在125分及以上者视为“优秀”，其余为“一般”．随机抽取了100名学生进行分析，统计人数如表：
(1)根据
列联表中数据判断，是否有
的把握认为“成绩优秀与坚持整理错题”有关？
(2)从样本中的“优秀”学生中任意选2人进行面对面交流，求这2人中“坚持整理错题”人数的分布列及数学期望．
附：
，其中．
| 坚持整理错题 | 不整理错题 | 合计 | |
| 一般 | 15 | 60 | |
| 优秀 | 10 | ||
| 合计 |
列联表中数据判断，是否有的把握认为“成绩优秀与坚持整理错题”有关？(2)从样本中的“优秀”学生中任意选2人进行面对面交流，求这2人中“坚持整理错题”人数
的分布列及数学期望．附：
，其中． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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7 . 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
，
附：对于一组数据
，
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
）.
| 时间（天） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 每天普及的人数y | 80 | 98 | 129 | 150 | 203 | 190 | 258 | 292 | 310 |
表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数
的线性回归方程.（参考数据：
，附：对于一组数据
，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
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名校
解题方法
8 . 小明从4双鞋中，随机一次取出2只，
(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
(2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望
，
(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
(2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望
，
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7日内更新
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1146次组卷
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2卷引用：辽宁省部分学校2024届高三第二次联考（二模）数学试题
9 . 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为
，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为
，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时
的取值范围.
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为
，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；(2)
大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为
，求的极大值；（ii）
大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
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2024·全国·模拟预测
10 . 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径
为一级果，果径
为二级果，果径
或
以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：
），得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为
，记一级果的个数为的概率为
，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为
，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
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