1 . 已知四边形ABCD，将线段AB绕点A旋转任意角度，得到线段AE，连接BE，DE.
(1)当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的内部时，如图①.若AE平分，，则            度，四边形ABED的面积为            ；
   
(2)当四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD的外部时，且.
①在图②中依题意补全图形，并求的度数；
   
②作的平分线AF交ED于点G，交EB的延长线于点F，连接DF，请用等式表示线段BE，FA，FD之间的数量关系，并说明理由；
(3)当四边形ABCD为菱形，点E在菱形ABCD的外部时，如图③.菱形ABCD的面积为，，过点C作CM垂直EB的延长线于点M，延长MC交ED的延长线于点P，连接BP.试判断BP是否存在最大值，若存在，请求出BP的最大值；若不存在，请说明理由.
   

2 . （1）已知P为平分线上的一点，作射线PA，PB，分别交OM，ON于点A，B.
①如图①，当，时，求证：；
   
②如图②，若OA，OB，OP满足，令（），，连接AB，请用含的式子分别表示的度数和的面积；
   
（2）如图③，在平面直角坐标系xOy中，C是函数图象上的一点.过点C的直线AB分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足，若P为平分线上的一点，且满足，请求出点P的坐标.
   

3 . 在矩形ABCD中，，点E是射线BC上的动点，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG，连接CF．
   
(1)如图1，当时，求线段CG的长；
(2)如图2，当点E是线段BC的中点时，求∠DCF的度数；
(3)如图3，连接DF，当点E在运动过程中，求的最小值．

4 . 在平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．
已知点，，.
(1)求（点O，）；
(2)记函数（，）的图象为，若，求的取值范围；
(3)的圆心，半径为1．若（，），请直接写出的值.

5 . 青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，这里有最齐全的樱花品种.小丽和小华在阳光明媚的周末去青龙寺赏樱花，他们看到一棵正在盛开的樱花树，想用所学知识测量这棵樱花树的高度.方法如下：如图，小华在某一时刻测得站立在E处小丽的影长，在同一时刻测量樱花树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小华在樱花树和墙面之间平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点M，镜子不动，小华看着镜面上的标记来回走动，走到点N时，恰好在镜面标记点处看到樱花树顶端A，这时测得小华的眼睛距地面的距离，，.已知点G、B、N均在直线上，，，，，小丽的身高，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出樱花树的高（结果精确到0.1m）.
   

6 . 抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，.为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点.
       
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
(4)在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，直接写出点的坐标.

7 . 在中，，，点为平面内一点，
   
(1)如图1，当点在边上，且时，求的长度
(2)如图2，若，求证：
(3)如图3，当时，连接，将沿直线翻折至平面内得到，点、分别为、中点，为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转90°，得到，请直接写出的最小值.

8 . 在中，.
   
(1)如图1，在内取点，连接，，将绕点逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
(2)如图2，点为中点，点在的延长线上，连接交于点，，连接并延长至点，连接，若，，求证：；
(3)如图3，，点在的延长线上，连接，在上取点，，连接，若，当取最小值时，直接写出的面积.

9 . 如图，已知点是平行四边形对角线上的点，连接，过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、，证明四边形是平行四边形.解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过与全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决.请根据解答思路完成下面作图与填空：
   
(1)尺规作图：过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
(2)证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ① ，，
∴ ②
在与中，
∴，
∴ ③ ，，
∴ ④ .
∴四边形是平行四边形.

10 . 在一次数学活动课上，老师要求同学们画15°、30°和60°角，小强同学身旁没有量角器，也没有圆规、三角尺，他灵机一动，想到了折纸的办法：他拿出一张矩形纸片，先对折使与重合，如图一，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕和线段.
   
(1)请直接写出的度数，并说明理由；
(2)在图一的线段上取一点，将沿着直线折叠，如图二，使得点恰好落在线段上，求；
       
(3)若为边上一点，如图三，将沿直线折叠，的对应点为，延长交边于点，延长交边于点，连接.
   
①若，当时，若存在唯一的点，使得四边形为平行四边形，求的值；
②在①的条件下，若为线段上一动点，如图四，连接，取线段的中点，连接，求的最小值.