1 . 如图，内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明：

(1)；
(2)、、、四点共圆.

2 . 设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．

3 . 已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．

4 . 对任意满足的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.

5 . 已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．
(1)已知数列，，求和；
(2)当且时，求的所有可能取值；
(3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；
(4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0；
(5)当，时，直接写出一对数列，，使得．