1 . 双五棱锥是由两个侧面均为边长为1的正三角形的五棱锥上下拼接而成的，如图所示.

(1)求双五棱锥的内切球半径；
(2)求分别位于拼接面(正五边形)两侧的相邻的两个正三角形构成的二面角的余弦值.

2 . 有两个正整数x，，其最大公约数与最小公倍数之和等于这两个数的积与和的差，则：
（1）满足条件的数组共有______个；
（2）在所有满足条件的数组中，的最大值为______．

3 . 对有理数，若且，定义．求最大的正实数，使得存在正常数满足对所有有理数成立．

4 . 已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．

5 . 设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．

6 . 如图，将个整数放入的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将个整数放入的宫格有种放法，则______，______．

7 . 如图，内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明：

(1)；
(2)、、、四点共圆.

8 . 有2024个半径均为1的球密布在正四面体内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为________.

9 . 对任意满足的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.

10 . 若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（       ）

A．，方程有无限组整数解

B．，方程有且只有两组整数解

C．，方程至少有一组整数解

D．，方程至多有有限组整数解