1 . 对有理数，若且，定义．求最大的正实数，使得存在正常数满足对所有有理数成立．

2 . 已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．

3 . 设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．

4 . 如图，内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明：

(1)；
(2)、、、四点共圆.

5 . 有2024个半径均为1的球密布在正四面体内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为________.

6 . 对任意满足的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.

7 . 若，则称是关于x，y的方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（       ）

A．，方程有无限组整数解

B．，方程有且只有两组整数解

C．，方程至少有一组整数解

D．，方程至多有有限组整数解

8 . 一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为.若“倍和数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”的最大值与最小值的差为______.

9 . 一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不为0，我们把它的百位数字作为十位，十位数字作为个位组成一个新的两位数，若这个两位数大于的千位数字与个位数字的和，就把这个数称为“心愿数”；若这个两位数还能被的千位数字与个位数字的和整除，就称这个数为“愿归数”例如，，且为“愿归数”.现有一个四位自然数，其中，都是整数，且.若为“愿归数”，其中，记.若能被7整除，则符合条件的自然数的最大值为_________________.

10 . 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.
(1)若，请直接写出集合和中元素的个数.
(2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.
(3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.