1 . ，，则不超过2024的正整数中可以作为函数值的个数为______

2 . 用表示正整数a与b的最大公约数．在无穷正整数数列中，，当时，有则下列判断中正确的是（       ）

A．数列中有且仅有有限多个素数项

B．数列中有无穷多个素数项

C．若，则，其中p是的最小素因子

D．若，则，其中p是的最小素因子

3 . 已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．
(1)已知数列，，求和；
(2)当且时，求的所有可能取值；
(3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；
(4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0；
(5)当，时，直接写出一对数列，，使得．

4 . 设递推数列满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是____________．

5 . 已知函数，使得任取实数x，y，z都有，则__________．（其中表示不大于x的最大整数）．

6 . 已知有穷数列，，，，满足，且当时，，令．
（1）写出所有可能的值；
（2）求证：一定为奇数；
（3）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．．

7 . 设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.