1 . 给定正数数列
满足，
，其中，
.证明：存在常数
，使得
.
满足，，其中，.证明：存在常数，使得.
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2 . 已知
，对于正整数
，
.求证：当正整数
时，有
.
，对于正整数，.求证：当正整数时，有.
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3 . 设
.求证：对一切
，
为奇数（
表示不超过
的最大整数）.
.求证：对一切，为奇数（表示不超过的最大整数）.
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4 . 
，
，…，
是互不相等的自然数.证明：
.
，，…，是互不相等的自然数.证明：.
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5 . 已知数列，，…，，…的各项都是非负实数，且
.求证：对所有不小于2的自然数，都有
.
，，…，，…的各项都是非负实数，且.求证：对所有不小于2的自然数，都有.
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6 . 已知，，
，…，是个正实数，
和
是正实数，满足
.求证：
.
，，，…，是个正实数，和是正实数，满足.求证：.
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7 . 已知对任意的
，有
，且
求证：
.
，有，且 求证：.
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8 . 已知数列
满足
，
用数学归纳法证明：
.
满足，用数学归纳法证明：.
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9 . 对任意的x和正整数n,比较
和
的大小.
和的大小.
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