1 . 设
为正整数数列，且对任意满足
；的正整数m、n，存在正整数
，使得
．试对每一个固定的
，求
的最大值．
为正整数数列，且对任意满足；的正整数m、n，存在正整数，使得．试对每一个固定的，求的最大值．
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2 . 圆周上分布着2014个点,将其任意染成红、黄两色.若从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一位置,所经过的点(含自身)红点个数恒大于黄点个数,则称该点为“优点”.为确保圆周上至少有一个优点,求圆周上黄点个数的最大值.
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3 . 若
为某一整系数多项式的根，则称
为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：
（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.
为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.
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4 . 已知数列
满足
， 
.证明：
满足， .证明：
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5 . 给定正整数
，非负整数满足对
均有
，其中，
表示
中大于0的数的个数（规定
）.试求
的最大值.
，非负整数满足对均有，其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值.
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6 . 已知数列满足，
，
.
（1）求的通项公式；
（2）令
，
为数列
的前项和，证明：
.
满足，，.（1）求
的通项公式；（2）令
，为数列的前项和，证明：.
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7 . 已知实数数列满足
,
.其中,
表示不超过实数
的最大整数.求
.
满足,.其中,表示不超过实数的最大整数.求.
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8 . 
，
，给定
，
，
.证明：对任意、
，
.其中，
表示
与的最大公约数.
，，给定，，.证明：对任意、，.其中，表示与的最大公约数.
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9 . 设
.证明：
.
.证明：.
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10 . 设X是非空的正整数集合，满足下列条件：
（1）若
，则
；
（2）若，则
.
证明：X是全体正整数的集合.
（1）若
，则；（2）若
，则.证明：X是全体正整数的集合.
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