1 . 设
为给定的正整数.求所有正整数
，使得存在
，
，且
恰有个不同的质因子.
为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子.
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2 . 设，已知个正实数
，
，…，
使对任意
、
，有
，证明：
·
，已知个正实数，，…，使对任意、，有，证明：·
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3 . 已知数列
的前项和为
，
且
．
（1）证明：
，并求的通项公式；
（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数
，都必定存在一个
，使
.
的前项和为，且．（1）证明：
，并求的通项公式；（2）构造数列
求证：无论给定多么大的正整数，都必定存在一个，使.
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4 . 数列定义如下：对任何正整数，
. 证明：存在无数个
的取值，使对一切正整数，有
.
定义如下：对任何正整数，. 证明：存在无数个的取值，使对一切正整数，有.
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5 . 已知数列由
,
确定若对于任意的
,
恒成立.求M的最小值.
由,确定若对于任意的,恒成立.求M的最小值.
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6 . 已知各项均不小于1的数列满足：，
，
，试求：（1）数列的通项公式；
（2）
的值.
满足：，，，试求：（1）数列的通项公式；（2）
的值.
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7 . 给定两个数列，满足
，
;
，
，证明：对任意的
可表为两个正整数的平方和．
，;，，证明：对任意的可表为两个正整数的平方和．
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8 . 已知数列
满足
，且对所有正整数有
.求证：存在正整数，使得
.
满足，且对所有正整数有.求证：存在正整数，使得.
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9 . 正整数数列满足：
（1）求
；
（2）求最小的正整数，使得
．
满足：（1）求
；（2）求最小的正整数
，使得．
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