解题方法
1 . 对集合
，定义其特征函数
，考虑集合
和正实数
，定义
为
和式函数.设
，则为闭区间列；如果集合对任意
，有
，则称
是无交集合列，设集合
.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，
是定义在
上的函数.已知存在唯一的正整数
，各项不同的非零实数
，和无交集合列
使得
，并且
，称
为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设
，证明：
；
（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设
为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.（i）设
，证明：；（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
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2 . 设函数
满足对于每个
，均存在一个
，使得
，其中，
是f复合m次．设
是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列
无界．
满足对于每个，均存在一个，使得，其中，是f复合m次．设是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列无界．
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名校
解题方法
3 . 设集合
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①
，且T中至少有两个元素；②对于任意
，当
，都有
；③对于任意
，若
，则
；则称集合
为集合
的“耦合集”.
（1）若集合
，求集合
的“耦合集”
；
（2）若集合
存在“耦合集”
，集合
，且
，求证：对于任意
，有
；
（3）设集合
，且
，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.（1）若集合
，求集合的“耦合集”；（2）若集合
存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；（3）设集合
，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
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2021-01-27更新
|
1305次组卷
|
5卷引用：北京市顺义区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
名校
4 . 已知集合
，若
，记
，
，定义
.
（1）若
且
，写出
中所有满足条件的元素
（2）令
，若
，求证：
为偶数；（
表示集合
中元素的个数）.
（3）若集合
，且
中的每一个元素均含有4个0和4个1，对任意
，都有，求中最多有多少个元素？并说明理由.
，若，记，，定义.（1）若
且，写出中所有满足条件的元素（2）令
，若，求证：为偶数；（表示集合中元素的个数）.（3）若集合
，且中的每一个元素均含有4个0和4个1，对任意，都有，求中最多有多少个元素？并说明理由.
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2020-11-20更新
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156次组卷
|
2卷引用：北京市八一学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题
5 . 设
为正整数，区间
（其中
，
）同时满足下列两个条件：①对任意
，存在
使得
；②对任意
，存在，使得
，其中
表示除
外的
个集合的并集.
（1）若
，判断以下两个数列是否满足条件：①
；②
？（结论不需要证明）
（2）求的最小值；
（3）判断是否存在最大值，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：①对任意，存在使得；②对任意，存在，使得，其中表示除外的个集合的并集.（1）若
，判断以下两个数列是否满足条件：①；②？（结论不需要证明）（2）求
的最小值；（3）判断
是否存在最大值，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.
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2020-07-16更新
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426次组卷
|
2卷引用：上海市复旦附中2020届高三下学期期末数学试题
6 . 设数列
（
）的各项均为正整数，且
.若对任意
，存在正整数
使得
，则称数列具有性质.
（1）判断数列
与数列
是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且
，
，
，求的最小值；
（3）若集合
，且
（任意
，
）.求证：存在
，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.（1）判断数列
与数列是否具有性质；（只需写出结论）（2）若数列
具有性质，且，，，求的最小值；（3）若集合
，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
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2020-05-11更新
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1161次组卷
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8卷引用：2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题
2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（四）数学试题北京师范大学第二附属中学2022届高三三模数学试题（已下线）北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题变式题16-21北京市2023届高三数学模拟试题北京卷专题18数列（解答题）北京市顺义区第一中学2023届高三高考考前适应性检测数学试题（已下线）数列的综合应用
7 . 设数组
，
，
，数
称为数组
的元素．对于数组，规定：
①数组中所有元素的和为
；
②变换
，将数组变换成数组
，其中
表示不超过
的最大整数；
③若数组
，则当且仅当
时，
．
如果对数组中任意
个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质
．
（Ⅰ）已知数组
，
，计算
，
，并写出数组
是否具有性质；
（Ⅱ）已知数组具有性质，证明：
也具有性质；
（Ⅲ）证明：数组具有性质的充要条件是
．
，，，数称为数组的元素．对于数组，规定：①数组
中所有元素的和为；②变换
，将数组变换成数组，其中表示不超过的最大整数；③若数组
，则当且仅当时，．如果对数组
中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质．（Ⅰ）已知数组
，，计算，，并写出数组是否具有性质；（Ⅱ）已知数组
具有性质，证明：也具有性质；（Ⅲ）证明：数组
具有性质的充要条件是．
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8 . 设数列
和
的项数均为，则将两个数列的偏差距离定义为
，其中
.
（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；
（2）设为满足递推关系
的所有数列的集合，和
为中的两个元素，且项数均为，若
，
，和的偏差距离小于2020，求最大值；
（3）记是所有7项数列
或
的集合，
，且中任何两个元素的偏差距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.
和的项数均为，则将两个数列的偏差距离定义为，其中.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；
（2）设
为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的偏差距离小于2020，求最大值；（3）记
是所有7项数列或的集合，，且中任何两个元素的偏差距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.
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9 . 已知数集
具有性质：对任意的
、
，
与
两数中至少有一个属于.
（1）分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：且
；
（3）证明：当
时，
.
具有性质：对任意的、，与两数中至少有一个属于.（1）分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：
且；（3）证明：当
时，.
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2019-11-08更新
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583次组卷
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2卷引用：上海市进才中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题
10 . 北京市中学有（
）名中学生为“北京奥运会”共提交了条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数不超过
．
（）名中学生为“北京奥运会”共提交了条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数不超过．
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