名校
1 . 若一个两位正整数
的个位数为4，则称为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”
一定为20的倍数；
(2)若
，且
为正整数，则称数对
为“友好数对”，规定：
，例如
，称数对
为“友好数对”，则
，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的
的最大值.
的个位数为4，则称为“好数”.(1)求证：对任意“好数”
一定为20的倍数；(2)若
，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.
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2023-09-20更新
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2154次组卷
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6卷引用：山东省青岛市2023-2024学年高一上学期9月强基计划学生选拔测试数学试题
2 . 已知为正整数.
(1)证明：
不能 表示为两个以上连续整数的乘积；
(2)若能 表示为两个连续整数的乘积，求的最大值.
为正整数.(1)证明：
(2)若
的最大值.
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2023-02-15更新
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155次组卷
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2卷引用：安徽省宣城市泾县中学2021年强基夏令营选拔测试数学试题
3 . 已知关于
的方程
有两个正整数根（是整数）.
的三边
满足
.求：
(1)的值；
(2)的面积.
的方程有两个正整数根（是整数）.的三边满足.求：(1)
的值；(2)
的面积.
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2022-08-28更新
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185次组卷
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3卷引用：湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题
名校
4 . 设，
是正整数，满足
.证明：
.
，是正整数，满足.证明：.
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5 . 设
且
是E的真子集,且G具有下列两条性质:
(1)对任何
恒有
(2)
试证:G中的奇数的个数是4的倍数,且G中的所有数字的平方和为一个定数
且是E的真子集,且G具有下列两条性质:(1)对任何
恒有(2)
试证:G中的奇数的个数是4的倍数,且G中的所有数字的平方和为一个定数
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6 . 能否将2010写成
个互不相等的质数的平方和？如果能，请确定出所有的值，并对相应的值各写出一个例子；如果不能，请简述理由．
个互不相等的质数的平方和？如果能，请确定出所有的值，并对相应的值各写出一个例子；如果不能，请简述理由．
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7 . 已知6027位数
是91的倍数.求三位数
的最小值与最大值的和.
是91的倍数.求三位数的最小值与最大值的和.
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8 . 已知正整数n、k，使得
成立，试确定不小于
的最小整数的值．
成立，试确定不小于的最小整数的值．
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9 . 若
是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的
位正整数，并同时满足如下两个条件：
（1）数字1，2，…，在中各出现两次；
（2）每两个相同的数字
之间恰有
个数字．
此时，我们称这样的正整数为“好数”．例如，当
时，可以是312 132．试确定满足条件的正整数的值，并各写出一个相应的好数．
是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的位正整数，并同时满足如下两个条件：（1）数字1，2，…，
在中各出现两次；（2）每两个相同的数字
之间恰有个数字．此时，我们称这样的正整数
为“好数”．例如，当时，可以是312 132．试确定满足条件的正整数的值，并各写出一个相应的好数．
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个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
；
时，
.
