2023高三·全国·专题练习
1 . 已知数列
满足
.
(1)证明：是正整数数列；
(2)是否存在
，使得
？并说明理由.
满足.(1)证明：
是正整数数列；(2)是否存在
，使得？并说明理由.
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2022高三·全国·专题练习
2 . 已知0≤n≤18，19m+n＝20212022，则n＝__ ．
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3 . 设
为一个质数，且
也是一个质数，证明：
的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
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4 . 对每个正整数n，定义
为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若
且
，则
是合数.
为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.
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5 . 正整数
，且
的素因子个数不超过2，对于任意整数
，若
，则有
成立，求证：是质数.
，且的素因子个数不超过2，对于任意整数，若，则有成立，求证：是质数.
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6 . 设
证明：对整数
，
，必有一个模4余1的素因子．
证明：对整数，，必有一个模4余1的素因子．
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7 . 设a，b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得
对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对
．
对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对．
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8 . 存在正整数数对（a，b）满足
的正整数k的个数为_______ .（［a，b］表示正整数a与b的最小公倍数）
的正整数k的个数为
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9 . 求满足
的所有正整数对
．
的所有正整数对．
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10 . 已知
为大于
的质数，正项数列
满足
，
．证明：
．
为大于的质数，正项数列满足，．证明：．
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