1 . 设
为给定的正整数.求所有正整数
，使得存在
，
，且
恰有个不同的质因子.
为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子.
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2 . （1）求证：存在无穷多个正整数，使得
和
同时是合数；
（2）试判断，是否存在正整数
，使得对于任意正整数
，总有
和
之一为质数？并证明你的结论．
，使得和同时是合数；（2）试判断，是否存在正整数
，使得对于任意正整数，总有和之一为质数？并证明你的结论．
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3 . 求最小正整数，使得任何元正整数集合
中都有15个元素，其和能被15整除．
，使得任何元正整数集合中都有15个元素，其和能被15整除．
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4 . 已知
为大于3的素数，
的标准分解式为
，证明：
.
为大于3的素数，的标准分解式为，证明：.
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5 . 求所有素数p，使得
.
.
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6 . 已知正整数满足
，
.令
， 
， 
.对任意的
，记
，其中，
表示不超过实数
的最大整数，
表示集合中元素的个数.证明：
（1）
；
（2）
.
满足，.令， ， .对任意的，记，其中，表示不超过实数的最大整数，表示集合中元素的个数.证明：（1）
；（2）
.
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7 . 是否存在增函数
，使得对正整数
（
且），只要
为质数，就必定不可能有
，使得对正整数（且），只要为质数，就必定不可能有
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8 . 设是质数，数列
满足
，
，且对任意非负整数有
.若
是数列中的项，试求的所有可能值.
是质数，数列满足，，且对任意非负整数有.若是数列中的项，试求的所有可能值.
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9 . 对于整数
，是否存在正整数
及质数
，使得对任意正整数
，
中至少有一个是质数？
，是否存在正整数及质数，使得对任意正整数，中至少有一个是质数？
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10 . 试求出最小的正整数，使得同时满足：
（1）
（对表示不大于的最大整数）；
（2）
被190除所得的余数为11.
，使得同时满足：（1）
（对表示不大于的最大整数）；（2）
被190除所得的余数为11.
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