1 . 向量的数量积
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角:已知两个非零向量,,O是平面上的任意一点,作=,=(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
②向量的平行与垂直:当θ=0时,与同向;当θ=π时,与反向;如果与的夹角是,我们说与垂直,记作⊥.
③向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积(或内积),记作·,即·=||||cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义:如图,设,是两个非零向量,,,作如下的变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,则称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
②计算:设与方向相同的单位向量为,与的夹角为θ,则向量在向量上的投影向量是||cosθ.
(3)向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量,则
①·=·=||cosθ.
②⊥⇔·=0.
③当与同向时,·=||||;当与反向时,·=-||||.特别地,·=||2或||=.
④|·|≤||||.
(4)向量数量积运算的运算律对于向量,,和实数λ,有
①·=·;
②(λ)·=λ(·)=·(λ);
③(+)·=·+·.
(5)数量积的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2),则
①·=x1x2+y1y2;2=;____________ .
②⊥⇔____________ .
③
④设θ是与的夹角,则cosθ=____________ .
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角:已知两个非零向量,,O是平面上的任意一点,作=,=(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
②向量的平行与垂直:当θ=0时,与同向;当θ=π时,与反向;如果与的夹角是,我们说与垂直,记作⊥.
③向量的数量积:已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,我们把数量||||cosθ叫做向量与的数量积(或内积),记作·,即·=||||cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义:如图,设,是两个非零向量,,,作如下的变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,则称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
②计算:设与方向相同的单位向量为,与的夹角为θ,则向量在向量上的投影向量是||cosθ.
(3)向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是θ,是与方向相同的单位向量,则
①·=·=||cosθ.
②⊥⇔·=0.
③当与同向时,·=||||;当与反向时,·=-||||.特别地,·=||2或||=.
④|·|≤||||.
(4)向量数量积运算的运算律对于向量,,和实数λ,有
①·=·;
②(λ)·=λ(·)=·(λ);
③(+)·=·+·.
(5)数量积的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2),则
①·=x1x2+y1y2;2=;
②⊥⇔
③
④设θ是与的夹角,则cosθ=
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2 . 已知向量,则下列结论正确的是( )
A.当时, |
B.当时,向量与向量的夹角为锐角 |
C.存在,使得 |
D.若,则 |
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2022-10-28更新
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1987次组卷
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8卷引用:模块四 三角函数、平面向量与解三角形-1
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20-21高一·全国·课后作业
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3 . 已知点A(﹣2,4),B(3,﹣1),C(m,﹣4),其中m∈R.
(1)当m=﹣3时,求向量与夹角的余弦值;
(2)若A,B,C三点构成以A为直角顶点的直角三角形,求m的值.
(1)当m=﹣3时,求向量与夹角的余弦值;
(2)若A,B,C三点构成以A为直角顶点的直角三角形,求m的值.
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2021-10-22更新
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962次组卷
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6卷引用:6.3.5平面向量数量积的坐标表示【第一练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路
(已下线)6.3.5平面向量数量积的坐标表示【第一练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)专题9.3 向量基本定理及坐标表示(重点练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练(苏教版2019必修第二册)第9课时 课前 平面向量数量积的坐标表示山西省怀仁市大地学校2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题江苏省徐州高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题河南省洛阳市第二高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题