1 . 对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合.
(1)若，求集合和；
(2)已知为有限集，若，证明：.
(3)若，求的值.

2 . 已知集合，对于，定义A与B之间的距离：.若，则称A，B相关，记为.若中不同的元素，满足，则称为中的一个闭环.
(1)请直接写出中的一个闭环；
(2)若为中的一个闭环，证明：m为偶数；
(3)若为中的一个闭环，求m的最大值.

3 . 设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系.例如时，与都是上的关系.设为非空集合上的关系.给出如下定义：①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；③（传递性）若对任意，有，则称在上是传递的.如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系.任给集合，定义为.
(1)若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由）
(2)若集合有个元素，的非空子集两两交集为空集，且，求证：为上的等价关系.
(3)若集合有个元素，问：对上的任意等价关系，是否存在的非空子集，其中任意两个交集为空集，且，使得？请判断并说明理由.

4 . 设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)求证：.

5 . 已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.

6 . 设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
(1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
(2)已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．

7 . 已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)具有性质，当时，求集合；
(3)①求证：；②求证：.

9 . 给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合C，D为闭集合，且，，证明：.

10 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.