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解题方法
1 . 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流,记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯,很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容,且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长,该公司研究部门从流水线上随机抽取
件萌宠机器人(以下简称产品),统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图
):
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/22/2963830638542848/2965840985235456/STEM/6420c21f-c1f7-47bc-989d-d704828ca550.png?resizew=241)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/22/2963830638542848/2965840985235456/STEM/7d37f933-16c6-49f3-bad6-83e15fc53b8a.png?resizew=143)
(1)求性能指数的众数与中位数;
(2)该公司为了解年营销费用
(单位:万元)对年销售量
(单位:万件)的影响,对近
年的年营销费用
,和年销售量
数据做了初步处理,得到的散点图(如图
)及一些统计量的值.
表中
,
,
,
.
根据散点图判断,
可以作为年销售量
(万件)关于年营销费用
(万元)的回归方程.
(i)求
关于
的回归方程;(取
)
(ii)按经验可知,若营销费为
(万元)则会产生成本
(万元),若每件产品的销售利润为
元,用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费,才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益
营销利润
成本).
参考公式:对于一组数据
,
,
,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/22/2963830638542848/2965840985235456/STEM/7d37f933-16c6-49f3-bad6-83e15fc53b8a.png?resizew=143)
(1)求性能指数的众数与中位数;
(2)该公司为了解年营销费用
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d91e07104b699c4012be2d26160976a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97ea8f47d8d8d9e1832d52b1c7425450.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f8e44f9908e42b5a5b1838fc20969704.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
16.30 | 24.87 | 0.41 | 1.64 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90229c4f76db5de308cf8d5fc382099b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53c26fa1e573812fab6a173a4eb0ed38.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e0c311fc644b7c09c3dbdfbb3bc35bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c1697fa54776dc8a5a6135c4ebe26fe.png)
根据散点图判断,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fea788ae8bd9c0cc3924d1d051d3363c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(i)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
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(ii)按经验可知,若营销费为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/143aca2ea7b880e70eb3ecaedc5f9c50.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6706fe00b4e231e62d9ecbec567d526b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bfc339cf6dd66599db64fa3fa44e608.png)
参考公式:对于一组数据
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aaf1c6aadc0129bf86f4fff9dcfb924b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/154100371e025fffe0ffae8be9567383.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/daa5e9bd516f6282483b92cfe6074623.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6a14e40329de36fc4a1a3f8fbfafda12.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c0943f70585435955d528325e51ef013.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73994f877b2173c73ace7886ca4acbb8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e1257b488abe839b85e39fa18363761.png)
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2 . 攀枝花属于亚热带季风气候区,水果种类丰富.其中,“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记,根据其种植规模与以往的种植经验,产自该果园的单个“红格脐橙”的果径(最大横切面直径,单位:
)在正常环境下服从正态分布
.
(1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”,求会买到果径小于
的概率;
(2)为了提高利润,该果园每年投入一定的资金,对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2013年至2022年(单位:万元)与年利润增量y(单位:万元)的散点图:
关于
的两个回归模型;
模型①:由最小二乘公式可求得
与
的线性回归方程:
;
模型②:由图中样本点的分布,可以认为样本点集中在曲线:
的附近.对投资金额
做交换,令
,且有
,
,
,
.
(ⅰ)根据所给的统计量,求模型②中
关于
的回归方程;
(ⅱ)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数).
附:若随机变量
,则
,
;
样本
(
)的最小二乘估计公式为
,
;
相关指数
.
参考数据:
,
,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21f3bf70722b22983c120d008d097602.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01b4592cf2fde3d441edf8670e93fa3c.png)
(1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”,求会买到果径小于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b342a8ec8dfe7b958378d357d41e095b.png)
(2)为了提高利润,该果园每年投入一定的资金,对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2013年至2022年(单位:万元)与年利润增量y(单位:万元)的散点图:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
模型①:由最小二乘公式可求得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6a1d7987a5a81dcf97e0c6f9b73c0605.png)
模型②:由图中样本点的分布,可以认为样本点集中在曲线:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f9ace7e415e484905e4e393631ca77c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e7ae9d60c249c43595f349d5a092f63f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a9d9fd9234ac16686032ade64b8551f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/785c3c783beb85be268b0c45f8de1f18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/737a377813401566fb947328849f19dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ebcaa1930a78164914a365bf43be07bf.png)
(ⅰ)根据所给的统计量,求模型②中
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(ⅱ)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数).
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
102.28 | 36.19 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8471b1bd5c53256f122a0f57d6ecf628.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f7b820c2f066efdaa998dbcca98888fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c48b782985357c0d7445279b874813f.png)
样本
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0b27d0521f9fc320298bccaaa784fcc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ab46d077ba3d6e13fa1f6a5aaa0ce6b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5e4b44bd0a20858b74d9a17c4ca96200.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb43dafc697ce309e1c2df1d7f73826b.png)
相关指数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca650b4cc78907597ddba66a2421d49a.png)
参考数据:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7d0d150d9af041b7f99a6658ed1f51f5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8eabdfcbc03a1d0b223555af8dbf4315.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b0591d9f78b4f4f78c5bd6baaa602ae0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3616e69114889d5d02099b6598a57136.png)
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3 . 某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销量y(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响.对近6宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的数据做了初步统计,得到如下数据:
经电脑模拟,发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y=a•xb(a,b>0),即lny=blnx+lna.,对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表:
(Ⅰ)从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研,求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
(Ⅱ)根据所给数据,求
关于
的回归方程;
(Ⅲ) 若生产该产品的固定成本为200(万元),且每生产1(吨)产品的生产成本为20(万元)(总成本=固定成本+生产成本+年宣传费),销售收入为
(万元),假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大?(其中
)
附:对于一组数据
,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费x(万元) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量y(吨) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑模拟,发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y=a•xb(a,b>0),即lny=blnx+lna.,对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(Ⅰ)从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研,求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
(Ⅱ)根据所给数据,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(Ⅲ) 若生产该产品的固定成本为200(万元),且每生产1(吨)产品的生产成本为20(万元)(总成本=固定成本+生产成本+年宣传费),销售收入为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4d9e808fecb84e98fb57bf19c19815e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b9a98a2289245cd0635cb70e4fb2aa5.png)
附:对于一组数据
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f3bb0d6bbe1dc6abc72bc72a880960b7.png)
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2019-01-25更新
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1868次组卷
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5卷引用:【市级联考】四川省攀枝花市2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测数学(文)试题