1 . 设自然数
，由
个不同正整数
构成集合
，若集合
的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合
，记
为集合元素的个数
(1)已知集合
，集合
，分别求解
．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记
求证：数列
的前项和
．
，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数(1)已知集合
，集合，分别求解．(2)对于集合
，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”①求
的最大值（无需证明）．②已知集合
是极异集合，记求证：数列的前项和．
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2 . 给定正整数
，设集合
．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素
，
，有
，且
，
，…，
中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
(1)当
时，判断
是否具有性质P；（结论无需证明）
(2)当
时，写出一个具有性质P的集合A；
(3)当
时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．(1)当
时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）(2)当
时，写出一个具有性质P的集合A；(3)当
时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
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3 . 设为正整数，
，
，记
.
(1)当
时，若
，
，求
的值；
(2)当
时，设集合
，设
是
的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素
，
.写出一个集合，使其元素个数最多；
(3)当时，
，
，其中
是锐角
的三个内角，证明：
.
为正整数，，，记.(1)当
时，若，，求的值；(2)当
时，设集合，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多；(3)当
时，，，其中是锐角的三个内角，证明：.
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4 . 已知数列
的各项均为正整数，设集合
，
，记
的元素个数为
.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
(2)若
是递减数列，求证:“
”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列
，求证:
.
的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.(1)若数列A:1，3，5，7，求集合
，并写出的值;(2)若
是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;(3)已知数列
，求证:.
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2024-04-19更新
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623次组卷
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4卷引用：黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题
黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2024届高三下学期高考模拟（一）数学试题（已下线）2024年北京高考数学真题平行卷（基础）（已下线）集合与常用逻辑用语-综合测试卷B卷吉林省长春市长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷
名校
5 . 对于一个四元整数集
，如果它能划分成两个不相交的二元子集
和
，满足
，则称这个四元整数集为“有趣的”．
(1)写出集合
的一个“有趣的”四元子集：
(2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
(3)证明：对任意正整数
， 集合
不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．(1)写出集合
的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合
不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数
， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
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2024-09-08更新
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663次组卷
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2卷引用：浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题
2024高三·全国·专题练习
名校
6 . 已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切
，都有
，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．
(1)设
，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？
(2)设
，且
，问
对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．(1)设
，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？(2)设
，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
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名校
解题方法
7 . 已知数集
具有性质：对任意的
与
两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：
且对任意
都是
的因数；
(3)当
时，若
，求集合.
具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)证明：
且对任意都是的因数；(3)当
时，若，求集合.
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名校
8 . 定义：若任意
(m，n可以相等但
) ， 则集合 
称为集合A的生成集；
(1)若集合
，的生成集为，的子集个数为4个，求实数
的值；
(2)若集合
，的生成集为，求证：
(m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集；(1)若集合
，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；(2)若集合
，的生成集为，求证：
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名校
解题方法
9 . 已知是非空数集，如果对任意
，都有
，则称是封闭集.
(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合
是封闭集，则
也是封闭集；
命题
：若非空集合是封闭集，且
，则
也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且
为全体实数集，求证：
不是封闭集.
是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题
：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；(3)若非空集合
是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
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2023-01-06更新
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3113次组卷
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10卷引用：专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）周测1 集合与常用逻辑用语 一轮周测卷（提升卷）北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题第一章 预备知识 测试卷-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（已下线）1.1集合的概念（分层作业）-【上好课】湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）1.3 集合的基本运算（精练）-《一隅三反》（已下线）专题02 高一上期中真题精选-期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）（已下线）1.3 集合的基本运算——课后作业（提升版）单元测试A卷——第一章 集合与常用逻辑用语
10 . 若正整数集合
（
，n为正整数，且
）满足：对任意的
（
，均为正整数），两数
与
中至少有一个属于，则称具有性质.（其中
，
，…，表示个变量）
(1)分别判断集合
与
是否具有性质；
(2)设正整数集合（，为正整数，且）具有性质，证明：对任意
（i为正整数），
都是的因数；
(3)若
，求的最大值.
（，n为正整数，且）满足：对任意的（，均为正整数），两数与中至少有一个属于，则称具有性质.（其中，，…，表示个变量）(1)分别判断集合
与是否具有性质；(2)设正整数集合
（，为正整数，且）具有性质，证明：对任意（i为正整数），都是的因数；(3)若
，求的最大值.
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