1 . 若数列{a_n}中不超过f（m）的项数恰为b_m（m∈N^*），则称数列{b_m}是数列{a_n}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{a_n}生成{b_m}的控制函数．
（1）已知a_n=n²，且f（m）=m²，写出b₁、b₂、b₃；
（2）已知a_n=2n，且f（m）=m，求{b_m}的前m项和S_m；
（3）已知a_n=2ⁿ，且f（m）=Am³（A∈N^*），若数列{b_m}中，b₁，b₂，b₃是公差为d（d≠0）的等差数列，且b₃=10，求d的值及A的值．

2 . 已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（3）设，，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.

3 . 已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立，记的前项和为.
（1）若，求的值；
（2）证明：对任意正实数，成等比数列；
（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列.若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由.

4 . 已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足，则的取值范围是______．

5 . 已知两个无穷数列分别满足，，
其中，设数列的前项和分别为，
（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”
①若数列为“5坠点数列”，求；
②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.

6 . 公比为的等比数列，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的的取值的代数和为__________．

7 . 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设
（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，又数列满足：：
①求数列的前和；
②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.

8 . 给定正整数k,若各项为非零的实数数列满足对任意（）恒成立,则称数列是“数列”.
（1）若数列为等比数列,求证：数列是“数列”；
（2）若正项数列既是“数列”,又是“数列”,求证：数列是等比数列.