1 . 设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以为直径的圆内．

2 . 平面内与两定点A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（2）当m=﹣1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

3 . 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.