1 . 如图，开口向右的抛物线对称轴与x轴重合，焦点位于坐标原点处，并且过点．设直线与抛物线交于两点，直线看与抛物线交于两点．

(1)求抛物线方程．
(2)求证：．
(3)设直线分别与y轴交于P，Q两点，求证：．

2 . 若A、B是抛物线上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定．
(1)证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(2)试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由．

3 . 已知，B在圆上运动，过的中点M向y轴引垂线，垂足为N，且，设，点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程，并证明直线与的斜率之积为定值；
(2)设E，F是曲线上的不同两点，O为坐标原点，，求的面积．

4 . 在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.
（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；
（2）设为上的动点，求的取值范围；
（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.