1 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．

2 . （本小题满分12分）

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于，两点．记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．

3 .
已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2） 已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于，两点，
点在上，，，证明：.

4 . 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点到直线的距离为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆下顶点为，直线（）与椭圆相交于不同的两点，当时，求的取值范围.