1 . 已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明：直线过轴上一定点，并求出点的坐标.

2 . 在直角坐标系中，已知抛物线:，抛物线的准线与交于点．
(1)过作曲线的切线，设切点为，，证明：以为直径的圆经过点；
(2)过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、两点，线段，的中点分别为、，试讨论直线是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．

3 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，，判断直线是否过定点？并说明理由.

4 . 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.

5 . 已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.
（1）求的方程；   
（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.