名校
解题方法
1 . 2020年新冠肺炎疫情突如其来，在党中央的号召下，应对疫情，我国采取特殊的就业政策、经济政策很好地稳住了经济社会发展大局．在全世界范围内，我国疫情控制效果最好，经济复苏最快．某汽车销售公司2021年经济收入在短期内逐月攀升，该公司在第1月份至6月份的销售收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
根据以上数据绘制散点图，如图所示．
(1)根据散点图判断，
与
（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为该公司销售收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的销售收入．（结果近似到小数点后第二位）
参考数据：
其中设
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据
，其回归直线
的解率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
．
时间（月份） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
收入（百万元） | 6.6 | 8.6 | 16.1 | 21.6 | 33.0 | 41.0 |
(1)根据散点图判断，
与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为该公司销售收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的销售收入．（结果近似到小数点后第二位）
参考数据：
|
|
|
|
|
|
3.50 | 21.15 | 2.85 | 17.50 | 125.35 | 6.73 |
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据
，其回归直线的解率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
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2022-04-27更新
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987次组卷
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3卷引用：安徽省“皖南八校”2022届高三下学期第三次联考文科数学试题
名校
解题方法
2 . 某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了
，
两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了“引种试验”，分别引种树苗，各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗，株数之比为
．
(1)完成下面的
列联表，依据
的独立性检验，分析树苗，的成活率是否有差异；
(2)已知树苗引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树在市场上出售，但每株售价
（单位：百元）受其树干的直径
（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树的相关数据进行统计，得到结果如下表：
根据上述数据，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，并用样本相关系数
加以说明．（一般认为
为高度线性相关）
参考公式及数据：样本相关系数
，
，
．
，其中
．
附表：
，两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了“引种试验”，分别引种树苗，各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗，株数之比为．(1)完成下面的
列联表，依据的独立性检验，分析树苗，的成活率是否有差异；| 树苗 | 树苗 | 合计 | |
| 成活株数 | |||
| 未成活株数 | |||
| 合计 | 50 | 50 | 100 |
引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树在市场上出售，但每株售价（单位：百元）受其树干的直径（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树的相关数据进行统计，得到结果如下表：| 直径 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 单株售价 | 4 | 8 | 10 | 16 | 27 |
与的关系，并用样本相关系数加以说明．（一般认为为高度线性相关）参考公式及数据：样本相关系数
，，．，其中．附表：
 | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2022-04-19更新
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413次组卷
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2卷引用：安徽省定远中学2023届高三下学期高考冲刺卷（一）数学试卷
名校
解题方法
3 . 《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量（单位：千万辆）折线图．
（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）
(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合与
的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．
参考数据：
，
，
，
，
，
．
参考公式：相关系数
，线性回归方程
中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
（单位：千万辆）折线图．（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）
(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合
与的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立
关于的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：
，，，，，．参考公式：相关系数
，线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
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2022-04-14更新
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755次组卷
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3卷引用：安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题
安徽省合肥市2022届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题（已下线）回归教材重难点06 概率与统计-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题
名校
解题方法
4 . 碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：
①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；
②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．
某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：
以x表示旋转角度，y表示燃气用量.
(1)用列表法整理数据（x，y）；
(2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程
（注：计算结果精确到小数点后三位）
(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为
．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位）
参考数据：
，
，
，
，
线性回归模型
，二次函数模型
．
参考公式：
，
，
．
①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；
②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°．
某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：
项目 旋转角度 | 开始烧水时燃气表计数/dm3 | 水烧开时燃气表计数/dm3 |
18° | 9080 | 9210 |
36° | 8958 | 9080 |
54° | 8819 | 8958 |
72° | 8670 | 8819 |
90° | 8498 | 8670 |
(1)用列表法整理数据（x，y）；
x（旋转角度：度） | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 |
y（燃气用量：dm3） |
（注：计算结果精确到小数点后三位）(3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为
．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位）参考数据：
，，，，线性回归模型
，二次函数模型．参考公式：
，，．
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2022-03-10更新
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1977次组卷
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6卷引用：安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模文科数学试题
安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模文科数学试题（已下线）专题23 回归方程- 2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）江西省南昌市2022届高三第三次模拟测试数学（文）试题内蒙古呼伦贝尔市满洲里市2022届高三三模数学（文）试题（已下线）专题3 “数学建模”类型内蒙古包头市第四中学2022届高三下学期校内三模理科数学试题
名校
解题方法
5 . 某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资
百万元所获得的利润y近似满足：
，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附．①对于一组数据
、
、……、
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
．
②线性相关系数
．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中
．
项目A投资金额x（单位：百万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
所获利润y（单位：百万元） | 0.3 | 0.3 | 0.5 | 0.9 | 1 |
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资
百万元所获得的利润y近似满足：，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据
、、……、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．②线性相关系数
．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中
．
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2021-09-07更新
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1035次组卷
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17卷引用：安徽省合肥市长丰县正心高级中学2019-2020学年高二下学期6月月考文科数学试题
安徽省合肥市长丰县正心高级中学2019-2020学年高二下学期6月月考文科数学试题安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二下学期第二次阶段检测文科数学试题江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期3月第二次模拟考试数学试题（已下线）预测卷05-2021年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）（已下线）文科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略+（三）（6月2日）山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学（文）试题（已下线）押第18题 概率与统计-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）（已下线）专题2.5 概率与统计-回归分析、独立性检验-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）（已下线）热点10 概率与统计-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）热点09 成对数据的统计分析-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）江苏省常州市北郊高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题江苏省南通市石庄高级中学2021-2022学年高二下学期3月第一次调研数学试题（已下线）押全国卷（文科）第18题 概率与统计-备战2022年高考数学（文）临考题号押题（全国卷）广东省中山市迪茵公学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题2023届甘肃省高考数学模拟试卷（三）2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷（三）江苏省苏州市黄埭中学 2024届高三上学期12月阶段性练习数学试题
名校
解题方法
6 . 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近
年的年宣传费
和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中：
，
（1）根据散点图判断，
与
，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费
千元时，年销售预报值是多少？
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. |  |  |  |  |  |  |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中：
，（1）根据散点图判断，
与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费
千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据
，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
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2021-09-01更新
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653次组卷
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6卷引用：安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二下学期期中文科数学试题
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二下学期期中文科数学试题福建省莆田市莆田第二中学2022届高三10月月考数学试题福建省宁德市重点高中2022届高三10月月考数学试题（已下线）专题10-1 统计大题：线性和非线性回归与残差-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）江西省新余市第一中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（文）试题江西省赣州市赣县第三中学2021-2022学年高二3月月考数学（文）试题
7 . 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量（
）的数据，得到散点图如图所示：
（1）利用散点图判断，和
（其中
，
为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.
（2）对数据作出如下处理：令
，
，得到相关统计量的值如下表：
根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；
（3）已知企业年利润
（单位：千万元）与，的关系为
（其中
），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：对于一组数据，，
，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量（）的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，
和（其中，为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令
，，得到相关统计量的值如下表： |  |  |  |
 |  | |  |
关于的回归方程；（3）已知企业年利润
（单位：千万元）与，的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据
，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
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2021-08-19更新
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1081次组卷
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4卷引用：安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2021学年高二下学期期中文科数学试题
名校
解题方法
8 . 近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表：
（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．(已知：
，则认为与线性相关性很强；
，则认为与线性相关性般；
，则认为与线性相关性较弱．)
（2）求出关于的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11"当天的交易额．
参考数据：
，参考公式：
，
| 年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
交易额 亿元 | 7 | 16 | 20 | 27 | 30 |
与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．(已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱．)（2）求出
关于的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11"当天的交易额．参考数据：
，参考公式：，
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2021-08-15更新
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223次组卷
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3卷引用：安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二下学期期中文科数学试题
名校
解题方法
9 . 黄山市一直践行“节能环保、绿色出行”的基本理念，现越来越多的市民购置新能源电动车替代传统的燃油汽车．如表是近五年我市新能源电动车的年销量与年份的统计表（其中第1年表示2016年，第2年表示2017年，依此类推）．
高二（1）班家委会组织了一次本班家庭购车调查，调查对象与内容近五年购车的20个家庭及购车的类型，得到的部分数据如表列联表．
（1）求新能源电动车的年销售量y关于x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关？若是，预测2021年新能源电动车的年销售量；若不是，请说明理由；
（2）完成列联表，并判断是否有
的把握认为购车车主是否购置新能源电动车与性别有关？
参考公式：
，若
，可判断y与x线性相关．
，
，
，其中．
临界值表供参考：
参考数据：
第x年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年销售量y（万台） | 5 | 8 | 14 | 22 | 31 |
列联表．购置传统燃油汽车 | 购置新能源电动车 | 总计 | |
车主为父亲 | 3 | ||
车主为母亲 | 2 | 6 | |
总计 | 20 |
（2）完成
列联表，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源电动车与性别有关？参考公式：
，若，可判断y与x线性相关．，，，其中．临界值表供参考：
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |
66 | 450 | 2.236 | 2.449 |
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名校
解题方法
10 . 为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：
）与孵化天数之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：
他们分别用两种模型①
，②
分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
，
，
，
，
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程．（系数精确到0.1）
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
．
（单位：）与孵化天数之间的关系，重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均温度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天数 | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：
，，，，（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立
关于的线性回归方程．（系数精确到0.1）参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
您最近一年使用：0次
2021-07-14更新
|
415次组卷
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7卷引用：安徽省蚌埠市2022届高三下学期第四次教学质量检查文科数学试题
安徽省蚌埠市2022届高三下学期第四次教学质量检查文科数学试题【全国百强校】福建省厦门市第一中学2017-2018学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题（已下线）第07章：统计案例（A卷基础篇）-2020-2021学年高二数学下学期同步单元AB卷（苏教版）（已下线）第08章：《期末综合试卷一》 （B卷提升篇）- 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）重庆市第八中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题河南省郑州市新郑市2021-2022学年高二下学期期末数学试题广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年高三上学期期末数学试题
