1 . 观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．

2 . 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为，则（       ）．

A．

B．

C．

D．

3 . 现有以下三个式子：①；②；③（为虚数单位），某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数．
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．

4 . 已知数列1，，，，…，（）的前项和为．
(1)求，，；
(2)猜想前项和，并证明．

5 . 已知数列中，，．
(1)求，，，的值；
(2)根据（1）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

6 . 如图，在谢宾斯基三角形中，

(1)每个三角形中黑色小三角形的个数依次构成数列，求的通项公式；
(2)当时，求在大黑色三角形内共去掉几个小三角形的个数．

7 . 观察下面三个等式：
第1个：，
第2个：，
第3个：
(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；
(2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）；
(3)用数学归纳法证明你的猜想成立．

8 . 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝1，S_n＝n²a_n(n∈N^*).依次计算出S₁，S₂，S₃，S₄后，可猜想S_n的表达式为________.

10 . 设，，，…，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．