1 . 用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为____________________．

2 . 是否存在常数，使等式对任意正整数都成立？证明你的结论．

3 . （1）依次计算下列各式的值：，，，．
（2）根据第（1）题的计算结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法证明相应的结论．

4 . 观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．

6 . （，），则______．

7 . 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
①；②；③（是虚数单位）.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式（不用证明）.

8 . 观察式子：
，
，
，
由此归纳，可猜测一般性的结论为______.

9 . 已知各项均为正数的数列，前项和，则通项______.

10 . 对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．