1 . 已知椭圆的普通方程为和曲线，（为参数），将曲线向左平移2个单位得曲线，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求椭圆的参数方程与曲线的极坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；
（2）已知椭圆上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点，的连线分别与 轴交于两点，为椭圆的中心，求证：为定值．

2 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标，直线经过点，且倾斜角为.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的标准参数方程；
（2）直线与曲线交于两点，直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线交于两点，求证:.

3 . 平面直角坐标系中，点的坐标为，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的参数方程；
（2）若是曲线上的不同两点，且，求证：线段的中点恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.

4 . 已知曲线C的参数方程为（为参数），P是曲线C上的点且对应的参数为，.直线l过点P且倾斜角为.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程.
（2）已知直线l与x轴，y轴分别交于，求证：为定值.

5 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若点在直线上，点在曲线上，求证：．

6 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：.

7 . 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点（）是曲线C上任意一点．
（I）求证：；
（Ⅱ）若，直线与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．

8 . 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程及曲线C的参数方程；
（Ⅱ）若点P在直线l上，点Q在曲线C上，求证：.

9 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线相交于两点，求证：.

10 . 在直角坐标系中，已知曲线：，将曲线经过伸缩变换得到曲线；以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）若，分别是曲线上的两点，且，求证：为定值.