1 . 如图所示，A、B是两颗在同一平面内绕地球做同向圆周运动的卫星，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）。已知地球半径为R，B离地面高度为，卫星绕地球转动的角速度为，地球表面的重力加速度为，为地球中心，忽略、间的相互作用力。求：
（1）卫星的运行周期；
（2）再一次相距最近所用的时间。

2 . 2023年5月17日，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的体积，求：
（1）同步卫星距地面的高度h；
（2）地球的密度；
（3）两颗人造地球卫星，在同一平面上沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为2R、8R，如果我们把两卫星相距最近称为两卫星相遇，这两颗卫星每隔多长时间相遇一次。

3 . 如图所示为某两颗卫星的运行示意图，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
（1） 求卫星B的运行角速度ω；
（2） 若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则经过多长时间，它们相距最远？

4 . 假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，飞船绕地球运行的周期为T，求：
（1）地球的密度；
（2）神舟十四号离地面的高度h；
（3）近地卫星A与神舟十四号B在同一轨道平面且运行方向相同，某时刻A、B相距最近，求近地卫星A的角速度，并计算经过多长时间它们相距最近。

5 . 如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角，设地球半径为R，地球表面两极处的重力加速度为g。
（1）求A做圆周运动的角速度；
（2）已知地球自转周期为T，赤道上有一个航天测控站B，求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间t（卫星信号传输时间可忽略）。

7 . 人类一直有“飞天”的梦想，万有引力定律的发现，不仅破解了天上行星的运行规律，也为人类开辟了上天的理论之路。
（1）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为T₁，火星的公转周期为T₂。
a.已知地球公转轨道半径为r₁，求火星公转轨道半径r₂。
b.考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔△t。
（2）放置在水平平台上的物体，其表观重力在数值上等于物体对平台的压力，方向与压力的方向相同。微重力环境是指系统内物体的表观重力远小于其实际重力（万有引力）的环境。此环境下，物体的表观重力与其质量之比称为微重力加速度。
环绕地球做匀速圆周运动的人造卫星内部也存在微重力环境。其产生原因简单来说是由于卫星实验舱不能被看作质点造成的，只有在卫星的质心（质点系的质量中心）位置，万有引力才恰好等于向心力。已知某卫星绕地球做匀速圆周运动，其质心到地心的距离为r，假设卫星实验舱中各点绕图2中地球运动的角速度均与质心一致，请指出卫星质心正上方（远离地心一侧）距离质心r处的微重力加速度g₄的方向，并求g₄与该卫星质心处的向心加速度a_n的比值。

8 . 某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，均为R，且转动方向与地球自转方向相反，Q是位于赤道上的某观测站。已知地球的自转周期为，且，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）从图示位置开始，卫星P至少经过多长时间再次处于观测站Q的正上方。

9 . 如图所示，在地球赤道上有一观测站A，赤道所在的平面内有一颗卫星B绕地球做匀速圆周运动，其圆周运动的周期为T，与地球自转方向相同。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。
（1）求B距地面的高度h；
（2）若B距地面的高度，地球的自转周期为，求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间t。（卫星信号传输时间可忽略）

10 . 某卫星A在赤道平面内绕地球做圆周运动，已知卫星距地面的高度为R，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。

（1）求卫星A做圆周运动的周期T；

（2）赤道上有一卫星测控站B，已知地球自转周期为T₀，且卫星运行方向与地球自转方向相反，求卫星A和测控站B能连续直接通讯的最长时间t。（卫星信号传输时间可忽略，无遮挡时可认为能直接通讯）