1 . 国家快递大数据平台实时监测数据显示，截至2021年12月8日9时03分，我国快递年业务量首次突破千亿级别，已连续8年稳居世界第一。如图甲所示是某快递点分拣快递装置的部分简化示意图，可视为质点的某快递从倾角为的斜面顶端A点静止释放，沿斜面下滑，进入水平传送带传送，最后能从水平末端C点水平抛出，落到水平地面，斜面与传送带之间由一小段不计长度的光滑圆弧连接。已知斜面长，水平传送带长，传送带上表面距水平地面，该快递与斜面间动摩擦因数，与传动带间动摩擦因数，传送带以大小为的速度顺时针转动，不考虑传送带滑轮大小。求：
（1）快递刚滑到传送带上时的速度的大小；
（2）传送带以顺时针转动，则快递落地点与抛出点C点的水平距离多大？
（3）调节传送带速度使快递落地点与抛出点C点的水平距离最大，传送带速度至少多大？
（4）若在传送带右侧加装一个收集装置，其内边界截面为四分之一圆形，如图乙为传送带右半部分和装置的示意图，C点为圆心，半径为，若要使该快递从C点抛出后落到收集装置时的速度最小，则传送带速度应该调节为多大？

2 . 水银温度计测温不超过100℃，请你设计一种测温范围超过100℃的温度计，且画出简单图示。

3 . 黑洞是广义相对论预言的奇异天体，其宏观性质由质量、角动量和电荷完全决定．对于一个、质量为的球对称简单黑洞（施瓦西黑洞），可以定义一个以黑洞中心为球心、半径为的球面（称为视界）．按照经典理论，视界以内所有物质都无法逃离黑洞．
(1)按照牛顿力学，如果一个粒子在质量为的球对称天体表面的逃逸速度恰好等于真空中的光速,此天体即为黑洞．试导出该天体半径的表达式．已知太阳质量约为,引力常量,真空中的光速,试问太阳半径至少收缩到多少时它将成为黑洞？
(2)以上由牛顿力学得到的恰好与广义相对论给出的同质量黑洞的视界半径结果一致．
按照贝肯斯坦和霍金的理论，黑洞的熵正比于其视界面积,即
其中是约化普朗克常量，是玻尔兹曼常量．当两个质量均为的简单黑洞塌缩成一个质量为的简单黑洞时，求黑洞系统的熵的改变量（结果不含）．
(3)对于一个绝对温度为、质量为的简单黑洞，其内能和熵满足基本热力学关系．按照相对论，黑洞的内能由爱因斯坦质能关系给出．试由此导出黑洞温度与其质量之间的关系式，并计算此黑洞的热容．
(4)假设有一可逆热机工作在初始质量分别为和的两个简单黑洞之间，已知,求该热机从开始至最终的全过程对外所做的总功．
(5)按照量子力学，霍金提出黑洞表面（即黑洞视界）可以向外辐射电磁波，且此辐射可以等价为与之同温度的黑体辐射，称为霍金辐射．求霍金辐射功率与黑洞质量之间的关系．已知斯特藩-玻尔兹曼常量．
(6)由于发生霍金辐射，黑洞能量将减少，从而其质量随时间变小．令黑洞的初始质量为,不考虑其它因素，求该黑洞由于霍金辐射而最终消失所需要的时间．

4 . 波长为λ=600nm的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级明条纹的衍射角为30°，第三级缺级，求：
（1）光栅常数a+b为多少？
（2）透光缝的最小宽度a为多少？
（3）在选定了a+b和a后，在–90°<θ<90°范围内，屏幕上可能呈现的明条纹最高级次为多少？在屏幕上最多呈现几条明条纹？

5 . 如图所示。
（1）试（a）写出质量为M和边长为a的均匀正N边形（）空心棱柱（薄壁厚），绕中心轴O的转动惯量。
（b）使用问题（a）结果，或其它方法，（1）求正方形空心棱柱绕O轴的转动惯量；以及使用以上空心棱柱结果，或其它方法，（2）求正方形实心棱柱绕O轴的转动惯量。（c）分别求出正方形（1）空心棱柱和（2）实心棱柱，绕棱边角点P轴的转动惯量。
（2）设有（1）空心棱柱和（2）实心棱柱的均匀正方形，最初静止在倾角为的斜面上，其中心轴线是水平的。现在令棱柱沿斜面不均匀地自由滚动下来，而且在滚下过程中，摩擦力足以阻止该棱柱的任何滑动，使得其棱边在P处与斜面保持良好的接触。
（a）设棱边P撞击斜面之前和之后的瞬时角速度分别为和。若，试求系数
（b）设棱边P撞击斜面之前和之后的动能分别为和。若，试求系数k。
（c）为使棱柱能够进行接下来的碰撞，必须超过一个最小值。试以参量k和表示系数。
（d）如题（c）条件满足时，动能将接近一个固定值，使得薄壁棱柱能够滚下斜面。试以参量k和表示系数。
（e）试求出斜面的最小倾斜角度，使得棱柱的不均匀滚动一旦启动，将无限地继续下去。若有需要，可使用积分方程。

6 . 空间中距坐标原点处有一质量为，带电量为q的质点，空间中存在均匀的磁场B，且存在以O为圆心电荷密度为半径为的球形区域。
（1）求空间中的电势及电场分布（忽略点电荷q的影响）。
（2）试证明为运动中的守恒量，并求出的值。
（3）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，试求质点所能达到的最远距离及最近距离，，在本题中，认为质点始终不超过半径为的球形区域。
（4）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，且，试求极坐标下粒子的位置随时间的关系， 认为质点始终没有进入半径为R的球形区域。

7 . 微通道板电子倍增管是利用入射电子经过微通道时的多次反射放大信号强度的一种电子器件，如图a所示。设一电子刚好从一直径为d、高为h的正圆柱形微通道的含轴截面（即虚拟的轴所在的截面）的一角射入此面内，进入微通道，入射速度大小为，入射方向与通道壁母线（与轴平行）之间的夹角为。假设每个电子撞入内壁后撞出n个次级电子。通道内有沿轴向的匀强电场，电场强度为大小为E。忽略重力和各级电子间相互作用，电子电量的绝对值为e，电子质量为m。
（1）如果，假设原电子的轴向动量在撞击后保持不变，垂直于轴的方向的动量被完全反弹，则电子会在通道内撞击通道壁多少次？
（2）如果，假设原电子的轴向动量被通道壁完全吸收，垂直于轴的动量被完全反弹并被垂直出射的次级电子均分，假设电子刚好在撞击通道末端后离开。欲使信号电量被放大到至少倍（p为正整数），则h至少要多大？
（3）如果，且通道中并不存在匀强电场，而是在第1次撞击位置以下有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，如图b所示。仍假设电子的轴向动量被通道壁完全吸收，垂直方向的动量被完全反弹并被垂直出射的次级电子均分。假设整个过程中所有电子均不会撞击左侧孔壁，电子最终刚好飞出通道，则h最大可为多少？

8 . 1911年荷兰物理学家昂纳斯首次发现当温度降到时，汞的电阻突然降到零．此后，科学家们持续开展超导研究，不断提升超导材料的转变温度．2023年3月杂志发表了美国罗切斯特大学研究团队的成果，他们宣布在（1万大气压）下实现了材料近室温超导转变，随后我国研究人员也在杂志上发文，否定了的高压室温超导的结论．室温超导一旦实现，将会引起一场新的科技革命，推动人类文明的进步．
超导体在临界温度下会进入超导态，表现出零电阻、完全抗磁性等性质．
(1)一般通过超导材料的电阻-温度关系确定超导体的临界温度．本题图是某种超导材料的电阻-温度曲线．通常把将样品电阻降至时的温度定义为超导转变临界温度．是超导转变开始时样品的正常态电阻，如本题图a所示．本题图b是一种材料的升降温曲线（升降温速率）,本题图c是其局部放大曲线．请在本题图c上用上、下箭头标注对应的升、降温测量曲线，并选择升温的电阻-温度曲线，确定该材料的超导转变临界温度．

(2)本题图是超导体处于超导态的曲线．进入超导态后，超导体可承受的电流是否有上限

A．有上限；

B．无上限．

(3)一种新型材料在高压下实现超导转变，本题图是该材料在不同磁场中的电阻-温度曲线．根据实验结果，说明磁场对超导材料的作用．

测量超导材料的电阻-温度曲线时温度变化范围大，常采用热电偶测温．

热电偶测温的工作原理如下：金属导线和的一端焊在一起用作测温端．它们的另一端各与同种材料的两根导线连接，并将连接点放入温度已知的恒温槽里，用作参考端．用高精度电压表或电位差计从材料导线的两个引出端即可测量热电偶由下式表示的温差电动势：
式中是塞贝克系数，由材料组分决定，是测温端温度，是参考端温度．
实验室常用的低温热电偶是型热电偶，由铜和铜镍合金两种材料组成．根据事先标定好的数据，由温差电动势可以获得待测端温度．
(4)在实验过程中，测温端经常会断开，是否可以使用电烙铁及焊锡将两端焊在一起进行汞的超导转变温度测量     

A．可以；

B．不可以．

(5)厂家一般提供的是基于参考端为的热电偶的温差电势-温度转换表，实际应用时，参考端一般浸入冰水混合物．如果在高、低海拔地区分别用该热电偶测量同样的温度，测量误差哪个大            

A．高海拔地区；

B．低海拔地区

(6)参考端的温度还可用测量精度高但范围窄的热敏电阻温度计进行测量．本题图是一种热敏电阻的伏安曲线，选用该电阻制作的温度计，应该让其工作在什么电流区间？本题图b是该热敏电阻的电阻-温度特性曲线，该热敏电阻具有下列哪些特点      

A．正电阻温度系数；

B．负电阻温度系数；

C．低温区对温度灵敏；

D．高温区对温度灵敏．

(7)根据题3.6图b,计算本题表中的温度值．
表：热敏电阻的电阻-温度关系

	20.0		27.5	32.5
	2479	2241	1840	1521

(8)利用型热电偶测温时，可能存在的误差有          

A．热电偶与被测物体间接接触；

B．热电偶的响应延迟；

C．电压输出端两根引出导线材料不同；

D．热电偶的塞贝克系数太小．

(9)材料构成的两根粗细相同的导线，采用鳄鱼夹与联接时，对测量结果是否有影响     

A．高温有影响；

B．低温有影响；

C．高温没有影响；

D．低温没有影响．

(10)一般采用范德堡四引线法测量超导体的电阻-温度曲线．本题图是制作好的四个电极的待测超导样品．如果要测量其电阻的相对变化，其四个电极应如何与一高精度电压表和一恒流源表相连？请在本题答题纸附图中用连线示意，并说明采取哪些措施可以提高电阻的测量精度？

超导体进入超导态的特征之一是“零电阻”．为了能更精确地确定超导体电阻的上限，通常采用持续电流法．将超导体做成一个闭合环，放在磁场中进行冷却，进入超导态后，撤去外磁场，超导环中会产生感应电流，通过感应电流随时间的变化，可确定超导体电阻的上限．超导环中感应电流产生磁场的大小及变化可以用霍尔元件进行测量．
霍尔测量原理：在载流体薄板上通以电流，沿薄板法线方向施加磁场，载流子受洛伦兹力的作用，就会在与电流和磁场两者垂直的方向上产生电势差，这种现象称为霍尔效应，所产生的电势差称为霍尔电压，如图所示．

若已知，测出,可计算;若已知，测出,可计算,进而确定截流子类型．
(11)本题图是某种新型材料根据图3.11.0测量原理测得的霍尔电阻率（样品厚度、宽、长在不同温度下随磁场变化的结果．请根据实验结果判断该材料在和时的载流子类型．由本题图可看出：同一磁场下，霍尔电阻率会随温度变化反号，请说明原因．从本题图中你还发现哪些现象？

(12)本题图所示霍尔元件制备过程中两电极不对称焊在霍尔片两侧，导致不等位电动势．请问如何消除该不等位电势？

(13)霍尔元件中载流子速率服从统计分布规律，会在薄板两侧形成横向温差，引入温差电动势,该现象称为爱廷豪森效应．该效应建立时间较长，请问如何消除？
(14)本题图a和b分别为持续电流测量装置示意图和测量点磁场随时间变化的实验测量结果．请根据图b,说明曲线不同区域样品的导电性和测量点磁场变化的可能原因．
超导环半径,环与测量点距离,请确定持续电流的大小．
在题图bⅢ区，霍尔元件测得的磁场没有可观察的变化．仪器测量精度可确保在整个Ⅲ区电流变化小于1/1000，样品环内的磁感应强度可近似认为与环心处的相同．请由实验结果估计环状样品在超导态时的电阻（对环形电流而言）阻值上限．

(15)如果样品是圆盘状的，还会产生持续电流吗        

A．会；

B．不会．

(16)本题图a和b分别是测量超导体热电势随温度变化的示意图和测量结果，测量时，低温端始终处于液氮中．附图b中为高温端温度，热电势-温度曲线被划分为三个温区，请说明各温区反映的是样品何种状态下的热电势特征．

9 . 在制作玻璃时通过掺入熔融的金属（如金、银、铜等），可以制成彩色的玻璃。这些金属颗粒中的电子在光的电场驱动下，对入射白光中的特定频率成分产生共振吸收，导致光在此频率附近的成分转化为热，从而使透过玻璃的光呈现出颜色。这种共振称为等离激元共振。
(1)考虑真空中一个半径为、相对介电常数为的均匀介质球，将其置于匀强外电场中。试求稳定后球内的电场强度和球的电偶极矩。已知均匀介质球在均匀外场中是均匀极化的，真空介电常量为。
(2)考虑一块均匀金属导体，其导电电子数密度为、质量为、电荷量为,电子在外场作用下定向漂移速度为时，被晶格散射的平均作用等效为一阻力,为阻力系数。不考虑电子间的相互作用。
（i）若此金属导体中有匀强恒定电场,试求稳定后金属内的电流密度,以及此金属的电导率。
（ii）若此金属导体中有振幅为、圆频率为的匀强交变电场,电子将会运动形成电流．若稳定后金属内的电流密度表示为,记，可类比交流电的复数表示引入复电导率,在复数形式下金属内复电流密度和复电场强度的关系可表述为。求此金属的复电导率的表达式（用和参量表示）。
在上述匀强交变电场中，电子将会整体同步地运动，可类比电介质定义金属导体中的极化强度。在复数形式下金属内复极化强度和复电场强度的关系可表述为,其中为复极化率。进而可引入复电位移矢量和复相对介电常数。求此金属的复相对介电常数的表达式（用和参量表示）。
(3)用上述金属导体制成半径为的纳米球形颗粒，放入圆频率为的平面简谐电磁波中，其电场振幅大小为,波长远大于。只考虑金属颗粒在电场中的极化，且在复数形式下可与第（1）问中介质球的极化类比．已知,不考虑电磁辐射。
（i）试求稳定后金属纳米颗粒内的电场振幅大小;当,时达到最大，发生等离激元共振，试求共振圆频率（为简单起见，求时可取）。
（ii）试求共振时该颗粒内的电场振幅大小,以及共振时该颗粒内的平均发热功率。（考虑到,略去的高阶小量）

10 . 如图,一根长度为、质量为的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴转动．只考虑杆在垂直于转轴的竖直平面内的运动，用杆与竖直向下方向之间的夹角（，以逆时针方向为正）作为描述杆位置的坐标．忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力．重力加速度大小为．
已知杆的转轴在竖直方向上作小振幅高频简谐振动，振动方程为,振幅,圆频率．在随转轴同步平动参考系中讨论杆的运动．

(1)试写出满足的动力学方程．
(2)可表示为和之和，其中表示平稳运动，表示圆频率为的高频小幅简谐振动．考虑到（即和的特征频率相差若干个量级），在变化的一个周期内，可视为不变；高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示．在以上条件和近似下，导出满足的动力学方程．
(3)由满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能（取处势能为零）．
(4)根据有效势能,试确定杆的平衡位置，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值时的情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率．
(5)初始时，杆位于转轴的正下方，其初角速度．要使杆能运动至转轴的正上方，应大于一个临界值，试求；当时，求杆能运动到的最大角度．