1 . 某兴趣小组对老师演示惯性的一个实验进行了深入的研究。如图甲所示，长方形硬纸板放在水平桌面上，纸板一端稍稍伸出桌外，将一块橡皮擦置于纸板的中间，用手指将纸板水平弹出，如果弹的力度合适，橡皮擦将脱离纸板，已知橡皮擦可视为质点，质量为，硬纸板的质量为，长度为。橡皮擦与纸板、桌面间的动摩擦因数均为，纸板与桌面间的动摩擦因数为，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。
（1）手指对纸板的作用力与时间的关系如图乙所示，要使橡皮擦相对纸板滑动，至少多大？
（2）手指对纸板的作用时间很短，可认为作用结束后，纸板获得速度但位移近似为零，则要使橡皮擦脱离纸板，需满足的条件？
（3）若要求橡皮擦移动的时间不超过，求纸板被弹出的最小速度？

2 . 根据国际标准，滑梯的坡度应该在30°到50°之间。这个范围既能够保证游玩者的安全，又能够让他们感受到刺激和快乐。如图所示为某景区所设计的一条玻璃滑道，为保证安全，要求游玩者在倾斜滑道的滑行速度不超过 10m/s，在水平滑道末端滑行速度近似为零。现测得落差为H=45m的一段缓坡适合安装滑道，全线采用倾角θ=37°的倾斜滑道和水平缓冲滑道结合的方式，滑行过程中的游玩者与滑道之间的动摩擦因数均为μ=0.5，不计倾斜滑道与水平滑道接合处的机械能损失，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求
（1）一段倾斜滑道的最大长度；
（2）为保证游玩者最终能够停在滑道上，滑道总长度的最小值。
   

3 . 如图所示，为游乐场中一个游戏装置，AB为一个倾斜的伸缩直轨道，A端搁置于固定的竖直墙面上，并且可沿竖直墙面在离地1.1m到离地1.8m之间上下移动，B端与固定直轨道BC平滑连接。固定直轨道BC和固定圆轨道CDF在C点平滑连接，直轨道BC与水平面夹角及圆弧半径OC与竖直面夹角都为θ=53°。在圆轨道的最低点D处设置压力传感器，圆轨道的最高点F处延伸出一个平台FG，该平台与圆轨道最高点有小缝隙，滑块恰能通过，直轨道AB、BC及圆轨道CDF在同一竖直平面内。已知直轨道AB、BC与滑块的摩擦系数均为μ₁=0.1，直轨道BC长L₂=1m，与竖直墙面的水平距离d=0.4m，圆轨道光滑，半径R=0.5，平台FG与滑块的摩擦系数为μ₂=0.4。若游客在A点静止释放一个质量m=0.5kg的滑块，滑块（可看作质点）在过连接点B时不会脱离也不会有机械能损失，若滑块能沿直轨道和圆轨道运动至平台FG，并且对D处压力传感器的压力不超过45N，则闯关成功。已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）若滑块恰好能通过圆弧轨道的最高点F，为使滑块能在平台FG上停下来，求平台的最短长度x；
（2）若A点高度调节为1.1m，请计算说明游客能否成功闯关；
（3）为了能成功闯关，请计算A点离地面的高度范围。

4 . 一种弹射游戏装置的简化示意图如图所示，它由内壁光滑的弹射器、水平直轨道AB、半径为的竖直圆轨道BC、倾斜轨道DE连接组成，小球经过E点后将沿水平方向射出。质量为、可视为质点的小球经弹射器弹出后，能通过C点且对轨道任一点的压力大小不超过小球所受重力的7倍视为游戏成功。已知，E点距水平直轨道的高度为，小球在AB段运动时所受阻力大小等于小球所受重力的，其余轨道均光滑，不计空气阻力，重力加速度大小为。在游戏成功的前提下，求：
（1）小球在圆轨道BC上的最小速度；
（2）弹簧储存的弹性势能需要满足的条件；
（3）小球从E点射出后的最大水平射程。

5 . 某地利用机器人配送午餐时，配餐点和目标位置处在直线通道上且相距，机器人送餐时从静止开始启动，到达目标位置停下。已知机器人加速和减速过程均可看作匀变速直线运动，为防止食物翻倒或发生相对移动，运动过程中，机器人的加速度大小不能超过2，最大速度不超过2m/s。
（1）求机器人把食物平稳送到目标位置所用的最短时间t；
（2）若机器人以最大速度匀速行进途中，发现其正前方的路口处突然出现一位以的速度同向匀速运动的人。不计机器人的反应时间，为避免相撞，机器人做匀减速运动时加速度的最小值。

6 . 国家快递大数据平台实时监测数据显示，截至2021年12月8日9时03分，我国快递年业务量首次突破千亿级别，已连续8年稳居世界第一。如图甲所示是某快递点分拣快递装置的部分简化示意图，可视为质点的某快递从倾角为的斜面顶端A点静止释放，沿斜面下滑，进入水平传送带传送，最后能从水平末端C点水平抛出，落到水平地面，斜面与传送带之间由一小段不计长度的光滑圆弧连接。已知斜面长，水平传送带长，传送带上表面距水平地面，该快递与斜面间动摩擦因数，与传动带间动摩擦因数，传送带以大小为的速度顺时针转动，不考虑传送带滑轮大小。求：
（1）快递刚滑到传送带上时的速度的大小；
（2）传送带以顺时针转动，则快递落地点与抛出点C点的水平距离多大？
（3）调节传送带速度使快递落地点与抛出点C点的水平距离最大，传送带速度至少多大？
（4）若在传送带右侧加装一个收集装置，其内边界截面为四分之一圆形，如图乙为传送带右半部分和装置的示意图，C点为圆心，半径为，若要使该快递从C点抛出后落到收集装置时的速度最小，则传送带速度应该调节为多大？

7 . 如图所示，某路面由斜坡AB和水平路面BC两部分组成，斜坡与水平面的夹角，一质量为M的卡车正沿斜坡AB往下运动，此时水平路而上有多辆质量为m的小汽车正以m/s的速度匀速行驶，它们之间的距离均为m。已知卡车和小汽车在各路面上行驶时受到的摩擦力均为正压力的0.2倍，，重力加速度，忽略车辆本身长度，，。当卡车以m/s的速度行驶至距离斜坡底端m的A点时，突然出现故障失去控制。
（1）为避免发生交通事故，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少多远？
（2）若卡车发生故障时，与卡车距离最近的小汽车恰好位于斜坡的底端B，则卡车最多会与几辆小汽车发生连环碰撞？（假设所有碰撞为一维完全非弹性碰撞，且小汽车一旦发生碰撞会立即失去控制）

8 . 史上最严交规于2013年1月1日正式在中国实行，广大驾驶人对其中撞黄灯的严厉处罚感到伤不起。现有如下情景：某红绿灯路口，有两辆小汽车甲、乙一前一后相距8m正以36km/h的相同速度匀速向路口行驶。设甲、乙两车刹车刹车加速度都是10m/s²。求：
（1）要使甲在黄灯亮时能停在停车线内，则甲距离停车线至少多远开始刹车？
（2）要使乙车不至于与甲车追尾，则乙车刹车比甲刹车的滞后时间不能超过多少？

9 . 某兴趣小组为模拟控制带电粒子的运动，设计了如图甲所示的装置，带正电粒子经加速后以速度沿中心轴线水平向右射出，进入水平、上下正对放置的平行板电容器MN（两板长为、间距为d，板间有垂直轴线水平向外大小为的匀强磁场），射出后进入方向平行轴线水平向右大小为的匀强磁场（分布于间距为与垂直的两平面、之间，平面紧靠电容器右端，垂直轴线方向范围非常大）。紧贴放有荧光屏，荧光屏上建立如图所示以为z轴的坐标系oxyz。整个系统置于真空中，粒子的电荷量为q、质量为m，不计重力，不考虑相对论效应。假设各场都有理想的边界，打到屏上的粒子立刻被吸收、电荷导入地，，q、m、d、、、已知。
（1）当加在MN板间电压等于多少时粒子恰好能沿（z轴负方向）打到荧光屏中心点O，MN哪板电势高；
（2）若MN不加电压，求粒子能从MN两板间右侧飞出，大小要满足的条件；
（3）在满足（1）的条件下，粒子源持续、均匀地每秒射出N个粒子，撤去MN两板间的磁场，两板间加电压，保证粒子能打到荧光屏上，求k的最大取值和粒子打到荧光屏上时垂直荧光屏方向的平均作用力大小；
（4）如图丙所示，若大量粒子从MN板右侧（0，0，）点以射出，但偏离z轴负方向有很小角度的散射（角度分布在0~θ弧度范围内的一切方向），这些粒子有无可能聚焦在荧光屏一点上？你若认为可能则求出需满足的条件和聚在哪一点上；若不可能请说明理由。（当θ很小时、）

10 . 如图所示，为某小组设计的节能运输的实验装置。小车携带货物从斜面顶端无初速度滑下。小车压缩轻弹簧，速度减为零时货物被卸下，空车恰好可以回到斜面顶端。已知斜面顶端到弹簧的距离l=1m，倾角θ=30°，空车质量m=1kg，小车在斜面上运动时，受到的阻力等于重力的0.1倍。因弹簧的劲度系数较大，小车与弹簧的接触过程极短，g取10m/s²
（1）求小车沿斜面下滑的时间t。
（2）求弹簧的最大弹性势能E_p。
（3）若运送货物的质量M较大，小车返回到斜面顶端时会腾空。为保证安全，小车腾空的高度不超过0.1m，求M的最大值。