3 . 穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路中就有感应电流，电路中就一定会有电动势，这个电动势叫做感应电动势。感应电动势的大小可以用法拉第电磁感应定律确定。
（1）写出法拉第电磁感应定律的表达式；
（2）如图所示，把矩形线框放在磁感应强度为B的匀强磁场里，线框平面跟磁感线垂直。设线框可动部分的长度为L。它以速度v向右运动。请利用法拉第电磁感应定律推导。
（3）假设中存在可自由移动的正电荷，试画出内部的非静电力示意图，并从电动势的定义式角度出发，推导感应电动势E的表达式。

5 . 发电机和电动机具有装置上的类似性，源于它们机理上的类似性。直流发电机和直流电动机的工作原理可以简化为如图1、图2所示的情景。
在竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场中，两根光滑平等金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为，电阻不计。电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，以速度v（v平行于MN）向右做匀速运动。图1轨道端点间接有阻值为r的电阻，导体棒ab受到水平向右的外力作用。图2轨道端点间接有直流电源，导体棒ab通过滑轮匀速提升重物，电路中的电流为I。求
（1）图1中a、b两点间的电压；
（2）在时间内，图1“发电机”产生的电能；
（3）在时间内，图2“电动机”输出的机械能。

6 . 两根相距为L的光滑金属导轨MN和PQ，固定在水平面上，并处于竖直向下的匀强磁场中，导轨足够长，左端接一电阻R，将一质量为m的导体棒（电阻可忽略），用力F拉动，使其匀速向右运动。试分别从电动势的定义，自由电子受力和运动，功能关系来推导导体棒中产生电动势的大小。

7 . 生活中经常会看到流体（如空气、水等）的旋涡现象。例如风由于旗杆的阻碍而产生旋涡，旋涡又引起空气、旗帜、旗杆在垂直于风速方向上的振动，风速越大这种振动就越快。
（1）利用旋涡现象可以测定液体的流速。如图甲所示（为截面图），旋涡发生体垂直于管道放置，在特定条件下，由于旋涡现象，液体的振动频率f与旋涡发生体的宽度D、液体的流速v有简单的正比或反比的关系。请结合物理量的单位关系写出频率f与v、D之间的关系式（比例系数可设为k，k是一个没有单位的常量）

（2）液体的振动频率可利用电磁感应进行检测。如图乙所示，将横截面直径为d的圆柱形金属信号电极垂直于流体流动方向固定于管道中，其所在区域有平行于信号电极、磁感应强度为B的匀强磁场，图丙为俯视的截面图。流体振动时带动信号电极在垂直于流速的方向上振动，若信号电极上的感应电动势e随时间t的变化规律如图丁所示，图中的E_m和T均为已知量。求流体的振动频率f以及信号电极振动的最大速率v_m；

（3）为了探测电极产生的信号，关于检测元件的设计，有人设想：选用电阻率为ρ的某导电材料制成横截面积为S、半径为r的闭合圆环，某时刻在圆环内产生一瞬时电流，由于自感该电流会持续一段短暂的时间，以便仪器检测。已知电流在环内产生的磁场可视为均匀磁场，磁感应强度的大小与电流成正比，方向垂直于圆环平面。若圆环内的瞬时电流恰好经减为零（T为流体的振动周期），且此过程中电流的平均值与初始时刻的电流成正比。结合（1）问的结果，请推导r与v、ρ、D以及S之间的关系。

8 . 如图所示，足够长的U形光滑导体框固定在水平面上，宽度为L，一端连接的电阻为R。导体框所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电阻为r的导体棒MN放在导体框上，其长度恰好等于导体框的宽度，且相互接触良好，其余电阻均可忽略不，在水平拉力作用下，导体棒向右匀速运动，速度大小为v。
(1)请根据法拉第电磁感应定律推导导体棒匀速运动时产生的感应电动势的大小E=BLv；
(2)求回路中感应电流I和导体棒两端的电压U；
(3)若改用某变力使导体棒在滑轨上做简谐运动，其速度满足公式v'=，求在一段较长时间t内，回路产生的电能大小E_电。

9 . 电源是通过非静电力做功把其它形式的能转化为电势能的装置，在不同的电源中，非静电力做功的本领也不相同，物理学中用电动势E来表明电源的这种特性。在电磁感应现象中，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。产生感应电动势的那部分导体就相当于“电源”，在“电源”内部非静电力做功将其它形式的能转化为电能。
（1）如图1所示，固定于水平面的U形金属框架处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，金属框两平行导轨间距为l。金属棒MN在外力的作用下，沿框架以速度v向右做匀速直线运动，运动过程中金属棒始终垂直于两平行导轨并接触良好。已知电子的电荷量为e。请根据电动势定义，推导金属棒MN切割磁感线产生的感应电动势E₁；
（2）英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场会在空间激发感生电场，感生电场与静电场不同，如图2所示它的电场线是一系列同心圆，单个圆上的电场强度大小处处相等，我们把这样的电场称为涡旋电场。在涡旋电场中电场力做功与路径有关，正因为如此，它是一种非静电力。如图3所示在某均匀变化的磁场中，将一个半径为x的金属圆环置于半径为r的圆形磁场区域，使金属圆环与磁场边界是相同圆心的同心圆，从圆环的两端点a、b引出两根导线，与阻值为R的电阻和内阻不计的电流表串接起来，金属圆环的电阻为，圆环两端点a、b间的距离可忽略不计，除金属圆环外其他部分均在磁场外。已知电子的电荷量为e，若磁感应强度B随时间t的变化关系为B=B₀+kt（k>0且为常量）。
a．若x＜r，求金属圆环上a、b两点的电势差U_ab；
b．若x与r大小关系未知，推导金属圆环中自由电子受到的感生电场力与x的函数关系式，并在图4中定性画出F₂-x图像。

10 . 如图所示，固定于同一水平面内的光滑、平行长直金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接有定值电阻．粗细和材质均匀的金属杆MN在与其垂直的水平恒力作用下，在导轨上匀速向右运动；金属杆MN始终与导线框形成闭合电路，其长度恰好等于平行轨道的间距，导轨电阻不计．

（1）已知匀强磁场的磁感强度为B，金属杆MN的长度为L，速度为v．
a．请通过法拉第电磁感应定律推导证明，金属杆MN切割磁感线产生的电动势．
b．请结合电源电动势定义式推导证明，金属杆MN切割磁感线产生的电动势．
（2）已知定值电阻的阻值为R，金属杆MN的电阻为r，水平恒力为F，某段时间内，金属杆MN向右运动距离为x．
a．请结合能量守恒定律，求这段时间内金属杆MN上产生的热量Q；
b．经典物理学认为，在金属导体中，定向移动的自由电子频繁地与金属离子发生碰撞，把定向移动的动能不断传递给金属离子，使金属离子的热振动加剧，因而导体的温度升高．在考虑大量自由电子的统计结果时，电子与金属离子的碰撞结果可视为导体对电子有连续的阻力．
展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型，并在此基础上求这段时间内金属杆MN上产生的热量Q．