24. 【教材回顾】课本88页,有这样一段文字:人们通过长期观察发现,如果早晨天空中有棉絮状的高积云,那么午后常有雷雨降临,于是有了“朝有破絮云,午后雷雨临”的谚语.在数学的学习过程中,我们经常用这样的方法探究规律.
【数学问题】三角形有3个顶点,如果在它的内部再画
n个点,并以这(
n+3)个点为顶点画三角形,那么最多可以剪得多少个这样的三角形?
【问题探究】为了解决这个问题,我们可以从
n=1,2,3等具体的、简单的情形入手,搜索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
三角形内点的个数 | 图形 | 最多剪出的小三角形个数 |
1 | | 3 |
2 | | 5 |
3 | | 7 |
4 | …… | a |
…… | …… | …… |
【问题解决】
(1)表格中的
a=
;
(2)你发现的变化规律是:三角形内的点每增加1个,最多剪得的三角形增加
个;
(3)猜想:当三角形内点的个数为
n时,最多可以剪得
个三角形;
像这样通过对简单情形的观察、分析,从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.
【类比应用】
(1)四边形有4个顶点,在它的内部画1个点,把四边形剪成若干个小三角形,最多可以剪得
个小三角形;
(2)四边形内部每增加1个点,最多剪得的三角形增加
个;
(3)当四边形内点的个数为
n时,最多可以剪得
个三角形;
(4)
m边形内有
n个点时,最多可以剪得
个三角形.