【推荐1】已知抛物线，焦点为，点在抛物线上，且到的距离比到直线的距离小1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点为直线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证:直线恒过某一定点.

【推荐2】抛物线C：的焦点为F，过x轴上一点（其点在F右侧）的直线l交C于A，B两点，且C在A，B两点处的切线交于点P．
(1)若l：，，求C的方程；
(2)证明：．

【推荐3】已知抛物线：和直线：，是抛物线上的点，且点到轴的距离与到直线的距离之和的最小值
（1）求抛物线的方程；
（2）设，过点作抛物线的两条切线，切点分别记为，，抛物线在点处的切线与，分别交于，两点，求外接圆面积的最小值.

【推荐1】已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线E上不同的两点M，N只能同时满足下列三个条件中的两个：

①；②；③直线MN的方程为．
(1)问M，N两点只能满足哪两个条件（只写出序号，无需说明理由）？并求出抛物线E的标准方程；
(2)如图，过F的直线与抛物线E交于A，B两点，过A点的直线l与抛物线E的另一交点为C，与x轴的交点为D，且，求三角形ABC面积的最小值．

【推荐2】如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点．

（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；
（2）过点作直线与抛物线E交于不同的两点, 若与的面积之比为4:1，求直线的方程．

【推荐3】设抛物线C：（）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为，过点A作抛物线C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：交于点M.当时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线，与直线交于点P，与直线l交于点N，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.

【推荐1】已知抛物线的焦点为，过拋物线上一点向其准线作垂线，垂足为，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线交于两点，与轴分别交于（异于坐标原点），且，若，求实数的取值范围.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.
（1）若过点，证明：.
（2）若，点在曲线上，的中点均在抛物线上，的面积记为，证明：与成正比.

【推荐3】已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．

【推荐1】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

【推荐2】已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．

【推荐3】已知抛物线及点.
（1）以抛物线焦点为圆心，为半径作圆，求圆与抛物线交点的横坐标；
（2）、是抛物线上不同的两点，且直线与轴不垂直，弦的垂直平分线恰好经过点，求的范围.