【推荐1】我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和．

(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，…写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．

【推荐2】已知数列中，，，且满足.
（1）求实数的值；
（2）若，求数列的通项公式.

【推荐3】已知数列中，，且，，成等差数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

【推荐1】设等差数列{a_n}的前n项和S_n，且a₄= 1，S₁₅= 75.
（1）求a₆的值；
（2）求S_n取得最小值时，求n的值.

【推荐2】已知各项均不相等的等差数列的前5项和为15，且，，成等比数列．   
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

【推荐3】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的通项公式；否则，说明理由.
问题：数列的各项均为正数，其前项和为，是否存在正数使得，且______？
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【推荐1】为数列的前n项和，，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的n项和.

【推荐2】已知数列的前项和为，且满足（），数列满足．
(1)求，的通项公式．
(2)求数列的前项和．

【推荐3】设首项为1，公比为的等比数列的前n项和为，又设，求．

【推荐1】设数列的前项和为，，，.
(1)求证： 是等比数列；
(2)设求数列的前项和．

【推荐2】已知数列中，，.
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

【推荐3】已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和.