【推荐1】已知各项均为正数的数列满足，且，则首项所有可能取值中最大值为________.

【推荐2】若数列满足，存在，对任意，使得，则的取值范围是______．

【推荐3】定义表示实数中的较大的数．已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为___________．

【推荐1】已知数列满足，，则________．

【推荐2】已知数列满足，记，则______；数列的通项公式为______.

【推荐3】已知数列的前项和为，且，，则______；若恒成立，则实数的取值范围为______.

【推荐1】数列满足，且，其前项和为则__________.

【推荐2】已知数列满足，，则数列的通项公式______，前n项和____________．

【推荐3】对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是__________．

【推荐1】设等差数列的前项和为，且，.则数列的通项公式为___________；在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前200项的和为_______________.

【推荐2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．

（参考公式：）

【推荐3】已知数列的前n项和为，若，则______________.