【推荐1】已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在上零点的个数.

【推荐2】已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．
(1)求点P处的切线方程，并证明：时，．
(2)若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：．

【推荐3】设函数．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）设，求函数在区间上的最大值；
（3）若存在，使得函数图象上有且仅有两个不同的点，且函数的图象在这两点处的两条切线都经过点，试求的取值范围．

【推荐1】设，，函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若的极大值恒小于0，求的最大值．

【推荐2】已知x轴被动圆C截得的弦长为6，动圆C过定点．
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)点M是曲线E上的动点，其纵坐标大于2，过点M作圆的两条切线分别与x轴交于点P，Q，求面积最小时点M的纵坐标．

【推荐3】已知函数，其导函数为．
(1)求单调性；
(2)求零点个数．

【推荐1】已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)若实数满足且，证明：.

【推荐2】已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，证明：当时，.

【推荐3】意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

【推荐1】已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，设的两个极值点恰为的零点，求的最小值．

【推荐2】已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：函数有唯一的零点；
(3)若，求实数a的取值范围．

【推荐3】已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.