【推荐1】已知函数，.
（1）证明：；
（2）若方程有两个不等实根，求的取值范围.

【推荐2】已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若，讨论的单调性；
（3）若，为在上的最小值，求证：．

【推荐3】已知函数（m∈R）．
（1）若，求证：；
（2）记函数，，是的两个实数根，且，若关于的不等式恒成立，求实数t的取值范围．

【推荐1】已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立.
(1)求数列、的通项公式；
(2)是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由；
(3)是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【推荐1】我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.

【推荐3】已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

【推荐2】如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.

(1)证明：直线的方程为.
(2)设为双曲线的左焦点，证明：.