【推荐1】已知函数，函数，函数，记的最大值为M，的最小值为N．
(1)求的单调区间；
(2)证明：；
(3)求的值．

【推荐2】悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、架空电缆都用到了悬链线的原理，经过很长时间的探究，在17世纪末期，莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中c为曲线顶点到横轴的距离．当时，称为双曲线余弦函数．
(1)解方程；
(2)双曲余弦函数的导数成为双曲正弦函数，记作．当时，求的最小值；
(3)已知，求数列的最大项．（参考数据：）

【推荐3】已知函数
（1）当时，判断的单调性；
（2）证明：.

【推荐1】已知函数．
（1）设，当时，求函数的单调减区间及极大值；
（2）设函数有两个极值点，
①求实数的取值范围；
②求证：．

【推荐2】设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，令若与的图象有两个交点,求证：

【推荐1】已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．

【推荐2】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设为整数，且对于任意正整数.若恒成立，求的最小值.

【推荐3】已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式对一切恒成立，求的取值范围．

【推荐1】已知函数有两个极值点，其中为自然对数的底数.
(1)记为的导函数，证明：；
(2)证明：.

【推荐2】已知，函数.
(1)若，证明：当时，：
(2)若函数存在极小值点，证明：

【推荐3】已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，当有两个极值点，时，总有成立，证明：.