【推荐1】对命题且的充要条件是且 .给出如下证法：必要性：若且，由不等式性质得且 .充分性：若且，考查函数当 时，有.从而其逆否命题：“若则 ”为真命题.因故 且成立.阅读上述材料，并利用上述方法证明：“”的充要条件是“ ”.

【推荐2】若数列满足，则称数列为数列.记.
（1）写出一个满足，且的数列；
（2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是.

【推荐3】[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.

（1）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；
（2）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.

【推荐1】已知数列，满足，．
（1）当，，时，计算与的值，并猜想时，与的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想．

【推荐2】某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给他开了一些消炎药，并叮嘱他每天早上8点和晚上8点各服用一片药片．现知该药片每片220mg，该学生的肾脏每12小时从体内代谢出这种药的60%，且如果这种药在体内的残留量超过386mg，就会产生副作用．
(1)该学生早上8点第一次服药，问第二天早上8点服完药时，药在他体内还残留多少？
(2)该学生若长期服用该药会不会产生副作用？

【推荐3】已知数列满足，，，.
（1）求数列的前3项和；
（2）若，求数列的前2021项和.

【推荐1】已知数列中，（实数a为常数），，是其前项和，且．数列是等比数列，，恰为与的等比中项．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．

【推荐2】已知数列的前项和为，数列满足，.
(1)证明是等差数列；
(2)是否存在常数、，使得对一切正整数都有成立.若存在，求出、的值；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知数列是各项均为正数的等比数列，设.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.

【推荐1】在数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.

【推荐2】数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设若数列的前n项的和是，求证：．

【推荐3】某情报站有．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用密码，表示第周使用密码的概率．
(1)求；
(2)求证：为等比数列，并求的表达式．