【推荐1】已知数列满足：，，且对任意的都有,
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）证明：对任意，都有；
（Ⅲ）证明：.

【推荐2】已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恒成立？如果存在，写出最小的，如果不存在请说明理由.

【推荐3】在数列中,若是正整数,且, ,则称为“D-数列”.
(1)举出一个前六项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前六项);
(2)若“D-数列”中,,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在?如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);
(3)证明:任何“D-数列”中总含有无穷多个为零的项.

【推荐1】已知数列满足：，. 正项数列满足：对每个，，且，，成等比数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，证明：．

【推荐2】已知
（1）求的值；
（2）求；
（3）求证：

【推荐3】已知数列满足：，且，设
(1)求数列的通项公式
(2)在数列中，是否存在连续三项依次构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由
(3)试证明：在数列中，一定存在正整数，使得依次构成等差数列，并求出之间的关系

【推荐1】各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数n，恒成立，且存在正整数n，使得或成立，则称数列为“紧密数列”，k称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前n项和为，且对任意正整数n，（A，B，C为常数）恒成立．
（1）当，，时，
①求数列的通项公式；
②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；
（2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，且，，求实数B的取值范围．

【推荐2】已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁＝2，a_na_n+1＝2(S_n＋1) ()．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁＝1，(，)，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}满足，(，)，试问是否存在正整数p，q（其中1 < p < q），使c₁，c_p，c_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知数列,满足（…）．
（1）若，求的值；
（2）若且，则数列中第几项最小？请说明理由；
（3）若（n=1,2,3,…），求证：“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”．

【推荐1】已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，O为原点，两个点列 和 满足：① ；②
（1）求点和的坐标；
(2)求向量的坐标；
（3）对于正整数k，用表示无穷数列 中从第k+1项开始的各项之和，用表示无穷数列 中从第k项开始的各项之和，即, 若存在正整数k和p，使得，求k,p的值.

【推荐3】已知无穷数列满足，.
（1）若；
（i）求证：；
（ii）数列的前项和为且，求证：；
（2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由.