1 . 已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．
(1)用表示；
(2)求证：对一切正整数n，的充要条件是；
(3)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．

3 . 设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.

4 . 如图，在中，弦与直径垂直，垂足为，的延长线上有一点，满足.过点作，交的延长线于点，连接交于点.

（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的值；

5 . 设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）

6 . 已知函数f(x)=xlnx－ax²，a∈R.
（1）证明：当1<x<3时，；
（2）设函数F(x)=|f(x)|(x∈[1，e])有极小值，求a的取值范围.

7 . 设函数.
（1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数，都有成立.

8 . 已知数列定义如下:.
求证:(1) ；
(2)对任意的正整数 n ,都有.

9 . 如图，在内取一点P，使,作于点D，于点E.求证:DE的垂直平分线必过BC的中点M.

10 . 在数列中，，其前项和满足关系式（）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，作数列，使（），求．
（3）求的值．