1 . 
的外接圆与内切圆分别为
、
，
为
旁切圆．
1．证明：存在唯一圆
，与内切、与外切，并且与内切于点A．
2．设圆与、的切点分别为P、Q．如果
，求证：
．
的外接圆与内切圆分别为、，为旁切圆．1．证明：存在唯一圆
，与内切、与外切，并且与内切于点A．2．设圆
与、的切点分别为P、Q．如果，求证：．
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2 . 如图所示，在等腰中，，设点D是边
上一点，点E是线段
的中点，延长
与底边
交于点F，证明：若
，求证：
.
中，，设点D是边上一点，点E是线段的中点，延长与底边交于点F，证明：若，求证：.
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3 . （1）求证：正三角形各顶点到其外接圆上任一切线的距离之和为定值；
（2）猜想空间命题“正四面体各顶点到其外接球的任一切面的距离之和为定值”是否成立？证明你的结论．注：与球只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点，切点与球心的连线垂直于切面．
（2）猜想空间命题“正四面体各顶点到其外接球的任一切面的距离之和为定值”是否成立？证明你的结论．注：与球只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点，切点与球心的连线垂直于切面．
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2024高三·全国·专题练习
4 . 的内切圆与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，设L，M，N分别是EF，FD，DE的中点．求证：的外心、内心与
的外心三点共线．
的内切圆与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，设L，M，N分别是EF，FD，DE的中点．求证：的外心、内心与的外心三点共线．
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5 . 在锐角中，
为延长线上一点，过分别作
，平行线
，
，若
，
，且
的外接圆与
交于点
，证明：
(1)
；
(2)
．
中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且的外接圆与交于点，证明：(1)
；(2)
．
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2023-12-14更新
|
147次组卷
|
2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
2023高三·全国·专题练习
6 . 已知圆
、
交于点
、
，且内切于圆，切点分别为
、
，
为圆上的任意一点，线段
、
分别与圆、交于
，
．证明：
(1)与圆切于点的直线和与圆切于点的直线平行；
(2)
是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线
上．
、交于点、，且内切于圆，切点分别为、，为圆上的任意一点，线段、分别与圆、交于，．证明：(1)与圆
切于点的直线和与圆切于点的直线平行；(2)
是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线上．
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2023高三·全国·专题练习
7 . 如图，设
与
相离，引它们的一条外公切线切于
，切于
，又引它们的一条内公切线切于
，且于
．求证：直线和
的交点在两圆的连心线上．
与相离，引它们的一条外公切线切于，切于，又引它们的一条内公切线切于，且于．求证：直线和的交点在两圆的连心线上．
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2023高三·全国·专题练习
8 . 已知下底边为（即
，且
）的题型
内接于
．是在直线上移动的点，且使得
不与相似．以
为直径的圆交于点
，记与
交于点
，
是与的交点（
）．求证：直线
通过一定点．
（即，且）的题型内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相似．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点（）．求证：直线通过一定点．
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9 . 在中，
，的内切圆
与，
，的切点分别为，
，
．记
与的不同于点的交点为，过点作的垂线交
于点，
，
分别是
与直线，
的交点．求证：是线段
的中点．
中，，的内切圆与，，的切点分别为，，．记与的不同于点的交点为，过点作的垂线交于点，，分别是与直线，的交点．求证：是线段的中点．
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2023高三·全国·专题练习
10 . 如图所示，在直角坐标系xOy中，椭圆C：
，直线l：
，点P是直线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，连接OP，交AB于点M．
(1)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标；
(2)设
的面积为
，
的面积为
，求
的值．
，直线l：，点P是直线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，连接OP，交AB于点M． (1)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标；
(2)设
的面积为，的面积为，求的值．
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