1 . 已知数列
满足
，
．给定奇质数
和正整数
满足
，证明：
的充分必要条件为
．
满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．
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2 . 设
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为
.求证：
.
为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.
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3 . 已知正整数数列
满足对任意的正整数
均有
，证明：存在无穷多个正整数对
（
），使得
．
满足对任意的正整数均有，证明：存在无穷多个正整数对（），使得．
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4 . 集合
，
，
.若集合
中的所有元素都能用
中不超过9个的不同元素相加表示，求
，并构造
达到最小时对应的一个集合.
，，.若集合中的所有元素都能用中不超过9个的不同元素相加表示，求，并构造达到最小时对应的一个集合.
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5 . 已知
，
.证明：
.
，.证明：.
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6 . 设X是非空的正整数集合，满足下列条件：
（1）若
，则
；
（2）若，则
.
证明：X是全体正整数的集合.
（1）若
，则；（2）若
，则.证明：X是全体正整数的集合.
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7 . 对给定的正整数
，定义
表示的各个数位上的数字之和的平方，当
且时，
表示
的各个数位上的数字之和的
次方，其中，当为奇数时，
；当为偶数时，
，试求
的值．
，定义表示的各个数位上的数字之和的平方，当且时，表示的各个数位上的数字之和的次方，其中，当为奇数时，；当为偶数时，，试求的值．
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8 . 设
为给定的正整数.求所有正整数
，使得存在
，
，且恰有个不同的质因子.
为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子.
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9 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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10 . 将
的方格表中的某些小方格染黑，使得不存在由三个黑色小方格构成的
形（共四种情形）．求最多有多少个小方格被染色？
的方格表中的某些小方格染黑，使得不存在由三个黑色小方格构成的形（共四种情形）．求最多有多少个小方格被染色？
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