2007高三·江苏·竞赛
1 . 已知n为正整数.求证: 
.
.
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2 . 求证：数列
的每一项都是整数，但都不是3的倍数.
的每一项都是整数，但都不是3的倍数.
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3 . 
定义在正整数集上，且满足
，
.求证：对所有整数
，有
.
定义在正整数集上，且满足，.求证：对所有整数，有.
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4 . 设k(k≥3)个正整数
依次成等比数列．求证：当
时，这个等比数列的公比q必为正整数．
依次成等比数列．求证：当时，这个等比数列的公比q必为正整数．
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5 . 一个人上台阶可以一次上1级台阶，也可以一次上3级台阶，或者一次上4级台阶.若这个人上
级台阶总共有
种走法，证明
为平方数.
级台阶总共有种走法，证明为平方数.
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6 . 设
，其中，b为正奇数.定义数列
满足
，
.若正整数
，使得
为素数.证明：
.
，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.
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7 . 对于平面上任意
个点构成的点集
，如果其中任意两点之间的距离均已确定，那么就称这个点集是“稳定的”.求证：在
格点的平面点集中，无三点共线，且其中的
个两点之间的距离已被确定，那么点集就是“稳定的”.
个点构成的点集，如果其中任意两点之间的距离均已确定，那么就称这个点集是“稳定的”.求证：在格点的平面点集中，无三点共线，且其中的个两点之间的距离已被确定，那么点集就是“稳定的”.
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8 . 已知点
满足
，
，且
，过点
、
的直线为l．
（1）证明：对于任意的
，点
均在直线l上；
（2）求对所有，均有
的最大实数k的值．
满足，，且，过点、的直线为l．（1）证明：对于任意的
，点均在直线l上；（2）求对所有
，均有的最大实数k的值．
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9 . 设数列
满足
,
,
.证明:对任意的
, 
.
满足,,.证明:对任意的, .
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10 . 证明：对任意的
，，都存在个互不相等的自然数组成的集合
，使得对任意的
和
，
都可以整除
.
，，都存在个互不相等的自然数组成的集合，使得对任意的和，都可以整除.
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