1 . 设为正整数,集合对于,设集合.
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
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解题方法
2 . 对集合,定义其特征函数,考虑集合和正实数,定义为和式函数.设,则为闭区间列;如果集合对任意,有,则称是无交集合列,设集合.
(1)证明:L和式函数的值域为有限集合;
(2)设为闭区间列,是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数,各项不同的非零实数,和无交集合列使得,并且,称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
(i)设,证明:;
(ii)给定正整数,任取正实数和闭区间列,判断的典范数最大值的存在性.如果存在,给出最大值;如果不存在,说明理由.
(1)证明:L和式函数的值域为有限集合;
(2)设为闭区间列,是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数,各项不同的非零实数,和无交集合列使得,并且,称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
(i)设,证明:;
(ii)给定正整数,任取正实数和闭区间列,判断的典范数最大值的存在性.如果存在,给出最大值;如果不存在,说明理由.
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3 . 给定素数,定义集合.对于,,定义如下:当时;当时.对于的一个子集,定义.若集合满足且对任意有则称集合为好集合.求最大正整数,使得可以找到个互不相同的好集合,,,,满足.
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2023-12-14更新
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362次组卷
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3卷引用:2023年第39届全国中学生冬令营(CMO)数学试题
名校
4 . 我们称为“花式集合”,如果它满足如下三个条件:
(a);
(b)的每个元素都是包含于中的闭区间(元素可重复);
(c)对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.
对于“花式集合”和区间,用表示使得的对的数量.求的最大值.
(a);
(b)的每个元素都是包含于中的闭区间(元素可重复);
(c)对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.
对于“花式集合”和区间,用表示使得的对的数量.求的最大值.
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5 . 已知非空正实数有限集合A,定义集合,证明:.
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6 . 设X是有限集,t为正整数,F是包含t个子集的子集族:F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足:对S中任意两个不相等的集合A、B,均不成立,则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链,S2是任意反链.证明:存在S2到S1的单射f,满足或成立.
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7 . 证明对所有的正整数,存在一个集合,满足如下条件:
(1)由都小于的个正整数组成;
(2)对的任意两个不同的非空子集、,集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和.
(1)由都小于的个正整数组成;
(2)对的任意两个不同的非空子集、,集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和.
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8 . 设曲线所围成的封闭区域为D.
(1)求区域D的面积;
(2)设过点的直线与曲线C交于两点P、Q,求的最大值.
(1)求区域D的面积;
(2)设过点的直线与曲线C交于两点P、Q,求的最大值.
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9 . 设是由有限个正整数构成的集合,且,这里,,,2,…,20.并对任意的,都有,,已知对任意的,,若,则.求集合的元素个数的最小值.(这里,表示集合的元素个数)
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10 . 已知A是由2015个不同正整数组成的集合,并且A中任意三个不同的数均为一个非钝角三角形的三边长,此时称该三角形为集合A确定的一个三角形,S(A)表示由A确定的所有三角形的周长的和(全等三角形只计算一次).求S(A)的最小值.
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