2011高三·山东·竞赛
1 . 集合
.如果
满足：其任意三个元素
、
、
，均有
，则称具有“性质
”.为方便起见，简记
.具有性质的所含元素最多的集合称为“最大集”.试问：具有性质的最大集共有多少个？并给出证明.
.如果满足：其任意三个元素、、，均有，则称具有“性质”.为方便起见，简记.具有性质的所含元素最多的集合称为“最大集”.试问：具有性质的最大集共有多少个？并给出证明.
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2011高三·吉林·竞赛
2 . 已知函数
.
（1）设
，且为常数，若函数
在区间
上是增函数，求
的取值范围；
（2）集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
.（1）设
，且为常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；（2）集合
，，若，求实数的取值范围.
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2009高三·天津·竞赛
3 . 将边长为3的正
的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称的边及这些平行线所交的10个点为格点.若在这10个格点中任取
个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形）.求的最小值.
的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称的边及这些平行线所交的10个点为格点.若在这10个格点中任取个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形）.求的最小值.
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2007高三·天津·竞赛
4 . 排成一排的10名学生生日的月份均不相同.有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每名学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的），每名教师尽可能多地选学生.对于学生所有可能的排序，求的最小值.
名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每名学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的），每名教师尽可能多地选学生.对于学生所有可能的排序，求的最小值.
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2008高三·吉林·竞赛
5 . 在四维空间中，定义点
与点
之间的距离为
.考查点集
.如果对I的任意一个n元子集
，都能找到
,使得
为正三角形，即
,求n的最小值.
与点之间的距离为.考查点集.如果对I的任意一个n元子集，都能找到,使得为正三角形，即,求n的最小值.
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6 . 设
表示不超过实数
的最大整数.求集合
的元素个数.
表示不超过实数的最大整数.求集合的元素个数.
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7 . 设
．对任意非空有限实数集
、
，求
的最小值，其中，
称为集合
与
的对称差，且
．
．对任意非空有限实数集、，求的最小值，其中，称为集合与的对称差，且．
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8 . 设、为平面上两个点集，满足
，
，且任意三点不共线.在集合和间各连若干条线段，每条线段均一个端点在集合中，另一个端点在集合中，且任意两点间至多连一条线段，记所有线段构成的集合为
.若集合满足对于集合或中任意一点均至少连出
条线段，则称集合是“一好的”.试确定
的最大值，使得去掉任意一条线段，集合均不是一好的.
、为平面上两个点集，满足，，且任意三点不共线.在集合和间各连若干条线段，每条线段均一个端点在集合中，另一个端点在集合中，且任意两点间至多连一条线段，记所有线段构成的集合为.若集合满足对于集合或中任意一点均至少连出条线段，则称集合是“一好的”.试确定的最大值，使得去掉任意一条线段，集合均不是一好的.
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9 . 有限数集的全部元素的乘积，称为数集的“积数”．今给出数集
，试确定的所有偶数个（2个，4个，…，98个）元素子集的“积数”之和的值．
的全部元素的乘积，称为数集的“积数”．今给出数集，试确定的所有偶数个（2个，4个，…，98个）元素子集的“积数”之和的值．
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10 . 已知
，
，且有
，
，
，
，试求
的取值集合.
，，且有，，，，试求的取值集合.
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